Теорема на Талес.Обратна теорема на Талес

[Гост]

Диагоналите на четириъгълник АВСD се пресичат в точка О. Ако ОА : ОС = ОВ : ОD, докажете, че АВСD е трапец.

[ptj]

Това е точно обратна теорема на Талес.
Ако не можеш да я ползваш наготово и ти трябва нейно доказателство използвай вектори.

[Евва]

През т.О чертаем права n ,така че n||AB (1).
Докажете ,че AB||CD .
Нека n пресича отсечките AD и BC съответно в т.E и т.F .
За удобство означаваме AE=y ,DE=x ,OA=a ,OC=c .

От даденото [tex]\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{c} = \frac{OB}{OD}[/tex] т.е. OB=ap и OD=cp .

AB||n (по построение) от теоремата на Талес [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{DE}{DA} = \frac{DO}{DB}[/tex] ;[tex]\frac{x}{x+y} = \frac{cp}{cp+ap}[/tex] ;[tex]\frac{x}{x+y} = \frac{c}{a+c}[/tex]

[tex]\frac{(x+y)-y}{x+y} = \frac{(a+c)-a}{a+c}[/tex] ; 1-[tex]\frac{y}{x+y}[/tex]=1-[tex]\frac{a}{a+c}[/tex] ; [tex]\frac{y}{x+y} = \frac{a}{a+c}[/tex]

Скрит текст: покажи

Връщаме се към чертежа .

[tex]\frac{AE}{AD} = \frac{AO}{AC}[/tex] тук прилагаме обратната теорема на Талес ,според която правата EO|| правата CD .
По построение правите EO и n съвпадат [tex]\Rightarrow[/tex] n||CD(2)
От (1) и (2) следва ,че AB||CD [tex]\Rightarrow[/tex] ABCD е трапец
___________________________________________
Много по-бързо и лесно ще докажем ,че ABCD е трапец ,ако имахме право да използваме
подобни триъгълници .