Подобни триъгълници, Талес, Моля Ви за помощ!!!

[Гост]

Дадени са окръжност k и точка C вън от нея. Построени са допирателните CA и CB към k. Нека M е произволна точка от k и MD, ME и MK са разстоянията от M съответно до правите AB, CA и CB. Докажете че MD[tex]x^{2 }[/tex]=ME.MK

Моля Ви за помощ и решение!!!

[Гост]

Дадени са окръжност k и точка C вън от нея. Построени са допирателните CA и CB към k. Нека M е произволна точка от k и MD, ME и MK са разстоянията от M съответно до правите AB, CA и CB. Докажете че [tex]MD^{2 }[/tex]=ME.MK

Моля Ви за помощ и решение!!!

[Гост]

Подобни триъгълници-page-001.jpg (199.91 KiB) Прегледано 2490 пъти

[S.B.]

Дадени са окръжност k и точка C вън от нея. Построени са допирателните CA и CB към k. Нека M е произволна точка от k и MD, ME и MK са разстоянията от M съответно до правите AB, CA и CB. Докажете че [tex]MD^{2 }[/tex]=ME.MK

Моля Ви за помощ и решение!!!

Без заглавие - 2024-01-30T201246.898.png (325.05 KiB) Прегледано 2485 пъти

$MK = KB$ като допирателни от външната точка $K$ към окръжността [tex]\Rightarrow \triangle MBK[/tex] е равнобедрен.
[tex]MK \bot CB \Rightarrow \angle MKB = 90 ^\circ \Rightarrow \angle KMB = \angle KBM = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\angle KBM = \angle KMB = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown }{MB}}{2} = 45 ^\circ[/tex] (периферен)
[tex]\angle MAB = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{MB}}{2} = 45 ^\circ,MD \bot AB \ \Leftrightarrow MD \bot AD \Rightarrow \triangle AMD[/tex] е равнобедрен правоъгълен.
[tex]\triangle AMD \approx \triangle MBK[/tex]
$$\Rightarrow \frac{AM}{BM} = \frac{MD}{MK}$$

[tex]\angle MBA = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{MA}}{2} = \alpha[/tex] (вписан)
[tex]\angle MAE = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{MA}}{2} = \alpha[/tex] (периферен)
[tex]\Rightarrow \triangle MBD \approx \triangle MAE[/tex] (правоъгълни, с равни остри ъгли)
$$\Rightarrow \frac{AM}{BM} = \frac{ME}{MD} $$
[tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{AM}{BM} = \displaystyle \frac{MD}{MK} \\ \displaystyle \frac{AM}{BM} = \displaystyle \frac{ME}{MD} \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{MD}{MK} = \displaystyle \frac{ME}{MD}[/tex]
$$ \frac{MD}{MK} = \frac{ME}{MD} \Leftrightarrow MD^{2 } = ME.MK $$

[Гост]

Заключението, че МК = МВ е вярно единствено в частния случай когато КМ е допирателна към окръжността.

От МК ┴ BC не следва, че МК е допирателна към окръжността.

Ако „приближим“ М към В, т.е. когато КМ вече не е допирателна, това твърдение престава да бъде вярно.

Screenshot_1.png (67.67 KiB) Прегледано 2477 пъти

[Гост]

Подобни триъгълници-page-001.jpg

Благодаря много!!!!!

[Гост]

Заключението, че МК = МВ е вярно единствено в частния случай когато КМ е допирателна към окръжността.

От МК ┴ BC не следва, че МК е допирателна към окръжността.

Ако „приближим“ М към В, т.е. когато КМ вече не е допирателна, това твърдение престава да бъде вярно.

Screenshot_1.png

Много благодаря!!!!!!

[Гост]

< МАВ = 45 градуса може да бъде вярно само за две конкретни положения на точка М върху окръжността и противоречи на произволния избор на точка М.

[S.B.]

< МАВ = 45 градуса може да бъде вярно само за две конкретни положения на точка М върху окръжността и противоречи на произволния избор на точка М.

Уважаеми колега,напразно се развълнувахте толкова много!
Да , в случая има недоглеждане от моя страна,за което си посипвам главата с пепел ,но
въпреки това,не можете да отречете,че при всички случаи [tex]\angle MBK = \angle MAB = \frac{\overset{\displaystyle\frown}{MB}}{2}[/tex],от което следва подобието на правоъгълните триъгълници:
[tex]\triangle MBK \approx \triangle AMD[/tex],от което следва и доказателството на твърдението.

[Гост]

< МАВ = 45 градуса може да бъде вярно само за две конкретни положения на точка М върху окръжността и противоречи на произволния избор на точка М.

Уважаеми колега,напразно се развълнувахте толкова много!
Да , в случая има недоглеждане от моя страна,за което си посипвам главата с пепел ,но
въпреки това,не можете да отречете,че при всички случаи [tex]\angle MBK = \angle MAB = \frac{\overset{\displaystyle\frown}{MB}}{2}[/tex],от което следва подобието на правоъгълните триъгълници:
[tex]\triangle MBK \approx \triangle AMD[/tex],от което следва и доказателството на твърдението.

Не отричам-page-001.jpg (64.29 KiB) Прегледано 2464 пъти

[Гост]

Признавам, не прочетох цялото решение, а само първите няколко реда, след което загубих ума и дума и с треперещи ръце и пот на челото се втурнах да посоча грешката.