Геометрични задачи, теорема на Талес, свойство ъглополовяща

[Гост]

5. Точка М е от страната АВ на ∆АВС и АМ : МВ = 4 : 3, а точка Р е от страната ВС и ВР : РC = 2 : 3. Ако СМ [tex]\cap[/tex] АР = О, намерете отношението АО : ОР и СО : ОМ.
6. Точка D е върху страната АС на ∆АВС и АD : DС = 4 : 5, а точка О е от отсечката ВD и ВО : ОD = 3 : 2. Намерете отношението ВК : КС, където К = АО[tex]\cap[/tex]ВС.
7. Отсечките СМ и СL са съответно вътрешна и външна ъглополовящи на С в ∆АВС. Ако АВ = 8 см, ВС = 6 см и АС = 10 см, намерете дължината на МL.

[Евва]

5 зад. Да означим АМ=4х ,ВМ=3х ,ВР=2у и РС=3у .
[tex]\frac{СО}{ОМ}[/tex]=?
Построяваме права f ,която минава през т.М и f||AP .
Правата f пресича отсечката ВС в т.F
Построяваме права n ,която минава през т.Р и n||MC .
Правата n пресича отсечката АВ в т.N
AP||MF и прилагаме теоремата на Талес [tex]\frac{BM}{BA} = \frac{BF}{BP}[/tex] ; [tex]\frac{3x}{7x} = \frac{BF}{2y}[/tex] ;BF=[tex]\frac{6y}{7}[/tex] (1)
(Отново от Т на Талес) [tex]\frac{CO}{CM}= \frac{CP}{CF}[/tex] ;[tex]\frac{CO}{CO+OM}= \frac{CP}{BC-BF}[/tex]

[tex]\frac{CO}{CO+OM} = \frac{3y}{5y- \frac{6y}{7} }[/tex] ; [tex]\frac{CO}{CO+OM} = \frac{21}{29}[/tex] ;29CO=21CO+21OM получаваме [tex]\frac{CO}{OM} = \frac{21}{8}[/tex]

По същия начин намираме [tex]\frac{АО}{ОР} = \frac{20}{9}[/tex]
PN||CM и приложи теоремата на Талес

[Евва]

7 зад. Мисля ,че точките M и L лежат на правата АВ .Нека [tex]\angle[/tex]АСВ=2[tex]\gamma[/tex]
Досещаме се ,че [tex]8^{2 }+ 6^{2 } = 10^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен ([tex]\angle[/tex]АВС=90[tex]^\circ[/tex])
(СМ -ъглополовяща) [tex]\frac{АМ}{ВМ} =\frac{АС}{ВС}[/tex] ;[tex]\frac{АМ}{АВ-АМ}= \frac{АС}{ВС}[/tex] ;[tex]\frac{АМ}{8-АМ} = \frac{10}{6}[/tex]
Получихме АМ=5 см. [tex]\Rightarrow[/tex] ВМ=3 см.
[tex]\angle[/tex]MCL =?
[tex]\angle[/tex]MCL=[tex]\angle[/tex]MCB+[tex]\angle[/tex]BCL=[tex]\gamma[/tex]+[tex]\frac{180 ^\circ-2 \gamma }{2}[/tex] =[tex]\gamma +90 ^\circ - \gamma[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]

Доказахме ,че [tex]\triangle[/tex]MCL е правоъгълен ,значи е в сила формулата [tex]h_{c } ^{2 } = a_{1 } b_{1 }[/tex]

Според нашата зад. формулата придобива вида [tex]CB^{2 } =BL.MB[/tex] ;[tex]6^{2 }[/tex]= BL.3 ;BL=12 см.
ML=MB+BL =3+12 =15 см.