система чрез полагане

[Гост]

Решете чрез въвеждане на ново неизвестно системата
x^2+y^2=20
xy=6

[S.B.]

Решете чрез въвеждане на ново неизвестно системата
x^2+y^2=20
xy=6

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + y^{2 } = 20 \\ xy = 6 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (x + y)^{2 } - 2xy = 20 \\ xy = 6 \end{array}[/tex]

Полагам $x + y = u ; xy = v$ и получавам:
[tex]\begin{array}{|l} u^{2 } - 2v = 20 \\ v = 6 \end{array} \Leftrightarrow u^{2 } - 12 = 20 \Leftrightarrow u^{2 } - 32 = 0 \Leftrightarrow (u + \sqrt{32})(u - \sqrt{32} ) =0[/tex]
$$\Rightarrow u_{1 } = -4 \sqrt{2} , u_{2 }= 4 \sqrt{2} $$

Връщам субституцията и образувам 2 нови системи:

[tex]\begin{array}{|l} x + y = -4 \sqrt{2} \\ xy = 6 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x + y = 4 \sqrt{2} \\ xy = 6 \end{array}[/tex]
Решението на тези системи не би трябвало да бъде проблем за теб! Изразяваш [tex]x = \frac{6}{y}[/tex] от второто уравнение и го заместваш в първото уравнение на всяка от системите.Успех!

[ammornil]

Решете чрез въвеждане на ново неизвестно системата
x^2+y^2=20
xy=6

Не виждам удачна субституция. По-скоро тук може да се използва, че [tex](x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy \Rightarrow (x-y)^{2}=20-2\cdot{6}=8\\[/tex] От където системата придобива вида [tex]\\ \begin{array}{|l} (x-y)^{2}=8 \\ xy=6\end{array} \Rightarrow \\ \begin{array}{lcl} \begin{array}{|l} x-y=2\sqrt{2} \\ xy=6\end{array} & \cup & \begin{array}{|l} x-y=-2\sqrt{2} \\ xy=6\end{array} \end{array}[/tex]

[grav]

Друг начин е: полагаме

[tex]x=u+v[/tex]
[tex]y=u-v[/tex]

тогава системата става

[tex]\\ \begin{array}{|l} 2u^2+2v^2=20 \\ u^2-v^2=6\end{array}[/tex]

откъдето [tex]u^2[/tex] и [tex]v^2[/tex] се намерат лесно от там и [tex]u[/tex] и [tex]v[/tex]. И [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]

[Евва]

Съгласна съм с ammornil ,че по-лесно ще се реши като се използват формулите
[tex](x \pm у)^{2 } = x^{2 } + у^{2 } \pm 2ху[/tex]
Системата става
[tex]\begin{array}{|l} (x+у)^{2 } = 32 \\ (x-у)^{2 } = 8 \end{array}[/tex]
В зависимост от знаците разглеждаме 4 (случая) системи .
(А)
[tex]\begin{array}{|l} x + y = 4 \sqrt{2} \\ x - y = 2 \sqrt{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x = 6 \sqrt{2} \\ 2y = 2 \sqrt{2} \end{array}[/tex]
1 отг. (3[tex]\sqrt{2}[/tex] ;[tex]\sqrt{2}[/tex])

(В)
[tex]\begin{array}{|l} x + y = -4 \sqrt{2} \\ x - y = 2 \sqrt{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x = -2 \sqrt{2} \\ 2y = -6 \sqrt{2} \end{array}[/tex]
2 отг. (-[tex]\sqrt{2}[/tex] ;-3[tex]\sqrt{2}[/tex])

(С)
[tex]\begin{array}{|l} x + y = 4 \sqrt{2} \\ x - y = -2 \sqrt{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x = 2 \sqrt{2} \\ 2y = 6 \sqrt{2} \end{array}[/tex]
3 отг. ([tex]\sqrt{2}[/tex] ;3[tex]\sqrt{2}[/tex])

(D)
[tex]\begin{array}{|l} x + y = -4 \sqrt{2} \\ x - y = -2 \sqrt{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x = -6 \sqrt{2} \\ 2y = -2 \sqrt{2} \end{array}[/tex]

4 отг. (-3[tex]\sqrt{2}[/tex] ;-[tex]\sqrt{2}[/tex])

[peyo]

Решете чрез въвеждане на ново неизвестно системата
x^2+y^2=20
xy=6

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + y^{2 } = 20 \\ xy = 6 \end{array}[/tex]

$x=\sqrt{20}sin(\alpha)$
$y=\sqrt{20}cos(\alpha)$

[tex]\begin{array}{|l} 20 = 20 \\ 20sin(\alpha)cos(\alpha) = 6 \end{array}[/tex]

Код: Избери целия код

In [1058]: for r in solve(20*simplify(sin(a)*cos(a))-6):
      ...:     print("x=",math.sqrt(20)*math.sin(r), "y=",math.sqrt(20)*math.cos(r)
      ...: )
      ...:
x= 4.242640687119285 y= 1.4142135623730951
x= 1.4142135623730951 y= 4.242640687119285

In [1059]: for r in solve([x**2+y**2-20, x*y-6]):
      ...:     print("x=",float(r[x]), "y=",float(r[y]))
      ...:
x= -4.242640687119285 y= -1.4142135623730951
x= -1.4142135623730951 y= -4.242640687119285
x= 1.4142135623730951 y= 4.242640687119285
x= 4.242640687119285 y= 1.4142135623730951

Някъде загубих отрицателните решения...

[ammornil]

първото уравнение в системата след полагането трябва да е [tex]\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}=1[/tex] а не [tex]20=20[/tex].

[peyo]

първото уравнение в системата след полагането трябва да е [tex]\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}=1[/tex] а не [tex]20=20[/tex].

Може би но това няма да помогне къде загубих отрицателните решения. Може би това има 4 решения?!:

$20sin(α)cos(α)=6​$
$20sin(2α)/2=6​$
$sin(2α)=3/5$

[ammornil]

първото уравнение в системата след полагането трябва да е [tex]\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}=1[/tex] а не [tex]20=20[/tex].

Може би но това няма да помогне къде загубих отрицателните решения. Може би това има 4 решения?!:

$20sin(α)cos(α)=6​$
$20sin(2α)/2=6​$
$sin(2α)=3/5$

От първото уравнение ще имаме две стойности за синус или косинус, нека бележим избраната функция с [tex]f(x)[/tex], няма значение кое ще пресметнем, и за всяка от тях ще имаме по две стойности на другата функция [tex]\pm\sqrt{1-f^{2}(x)}[/tex], което ще даде [tex]2\cdot{2}[/tex] общо [tex]4[/tex] решения. Затова в важно системата да съдържа първото уравнение.

Уравнението [tex]\sin{2\alpha}=a, (|a|\le1)[/tex] има две решения в интервала [tex](0;2\pi) \begin{cases} 2\alpha=\arcsin{a} \\ 2\alpha=\pi - \arcsin{a} \end{cases}[/tex], затова системата трябва да се реши спрямо тригонометричните функции на основния ъгъл, за да не се изгубят решения.

Според мен като цяло в случая, макар и интересна, субституцията с тригонометрия е излишно усложняване на поставения проблем.