Система уравнения от втора степен с две неизвестни

[Гост]

108-ма страница, 2-ра задача от учебника на издателство Архимед
3[tex]x^{2 }[/tex] + xy + 2[tex]y^{2 }[/tex] + 6x – 8y + 10 = 0
4[tex]x^{2 }[/tex] – 3xy – [tex]y^{2 }[/tex] + 9x – 12y + 15 = 0

[S.B.]

108-ма страница, 2-ра задача от учебника на издателство Архимед
3[tex]x^{2 }[/tex] + xy + 2[tex]y^{2 }[/tex] + 6x – 8y + 10 = 0
4[tex]x^{2 }[/tex] – 3xy – [tex]y^{2 }[/tex] + 9x – 12y + 15 = 0

[tex]\begin{array}{|l} 3x^{2 } +xy + 2y^{2 } + 6x -8y + 10 = 0 \\ 4 x^{2 } - 3xy - y^{2 } + 9x - 12y + 15 = 0 \end{array}[/tex]

Очевидно двойката $(0,0)$ не е възможно решение

[tex]\begin{array}{|l} 3 x^{2 } + xy+ 2 y^{2 } + 6x - 8y + 10 = 0 \\ 4 x^{2 } - 3xy - y^{2 } + 9x -12y + 15 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}3 x^{2 } + xy + 2 y^{2 } + 2(3x - 4y) + 10 = 0 \\4 x^{2 } - 3xy - y^{2 } + 3(3x - 4y) + 15 = 0 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 3 x^{2 } + xy + 2 y^{2 } + 10 = -2(3x - 4y) \\4 x^{2 }- 3xy - y^{2 } + 15 = - 3(3x - 4y) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \displaystyle \frac{3 x^{2 } + xy + 2 y^{2 } + 10 }{2} = (4y - 3x)\\\displaystyle \frac{4 x^{2 }- 3xy - y^{2 }+ 15 }{3} = (4y - 3x) \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\frac{3 x^{2 } + xy + 2 y^{2 } + 10}{2} = \frac{4 x^{2 } - 3xy - y^{2 } + 15 }{3} \Leftrightarrow 9x^{2 } + 3xy + 6 y^{2 } +30 = 8 x^{2 } -6xy -2 y^{2 } + 30 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]x^{2 } + 9xy + 8 y^{2 } = 0[/tex] (получи се хомогенно уравнение)
[tex]y\ne 0[/tex] (деля на [tex]y^{2 }[/tex])
[tex]( \frac{x}{y}) ^{2 } + 9 \frac{x}{y} + 8 = 0[/tex]

Полагам [tex]\frac{x}{y} = k[/tex] и получавам:

[tex]k^{2 } + 9k + 8 = 0 , D = 49, k_{1,2 } = \frac{-9 \pm 7}{2} , k_{1 } = -1, k_{2 } = -8[/tex]

Връщам субституцията:
[tex]\frac{x}{y} = -1 \Rightarrow x = -y[/tex]
[tex]\frac{x}{y} = -8 \Rightarrow x = -8y[/tex]

Образувам две системи:

[tex]\begin{array}{|l} x = -y \\ 3x^{2 } + xy + 2 y^{2 } + 6x - 8y + 10 = 0 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x = -8y \\3 x^{2 } + xy + 2 y^{2 }+ 6x - 8y + 10 = 0 \end{array}[/tex]

Мисля,че сега вече ще успееш и самостоятелно да довършиш решението на системата.Успех!

[Евва]

Можем да намалим решението ,ако се досетим да умножим първото уравнение по 3 ,
а второто по 2 .
После от първото уравнение вадим второто .

9[tex]x^{2 }[/tex]+3ху +6[tex]у^{2 }[/tex]+18х-24у+30-8[tex]x^{2 }[/tex]+6ху+2[tex]у^{2 }[/tex]-18х+24у-30 =0

[tex]x^{2 }+9ху+8 у^{2 }[/tex]=0