Отношение на лицата на подобни триъгълници

[Гост]

1. Отсечка, успоредна на основите и с краища върху бедрата на трапец разделя лицето на трапеца на две равни части. Намерете дължината на тази отсечка, ако основите на трапеца имат дължини a и b.

2. Даден е трапец ABCD, в който диагоналите се пресичат в точка O. Ако AB=6.CD и S[tex]\triangle[/tex] AOB =5 [tex]cm^{2 }[/tex], то намерете S[tex]\triangle[/tex] COD, S[tex]\triangle[/tex] BOC и S[tex]\triangle[/tex] AOD.

При възможност, моля Ви помогнете! Благодаря Ви предварително!

[ammornil]

1. Отсечка, успоредна на основите и с краища върху бедрата на трапец разделя лицето на трапеца на две равни части. Намерете дължината на тази отсечка, ако основите на трапеца имат дължини a и b.[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-03-04 141653.png (36.52 KiB) Прегледано 2394 пъти

[tex]\\AB=a, FE=x, DC=b, a>x>b \\ AD \cap BC=Q \\ M\in{AB}, QM\bot{AB} \rightarrow \begin{cases} QM\cap{FE}=N, FE\|AB \Rightarrow QN\bot{FE} \\ QM\cap{DC}=P, DC\|AB \Rightarrow QP\bot{DC} \end{cases} \\ \triangle{EFQ}\sim\triangle{DCQ} \Rightarrow \frac{PQ}{NQ}=\frac{DC}{FE} \Leftrightarrow \frac{PQ}{PQ+PN}=\frac{b}{x} \Leftrightarrow PQ\cdot{b}+PN\cdot{b}=PQ\cdot{x} \Leftrightarrow PN=\frac{PQ\cdot{}(x-b)}{b} \\ \triangle{ABQ}\sim\triangle{DCQ} \Rightarrow \frac{PQ}{MQ}=\frac{DC}{QB} \Leftrightarrow \frac{PQ}{PQ+PM}=\frac{b}{a} \Leftrightarrow PQ\cdot{b}+PM\cdot{b}=PQ\cdot{a} \Leftrightarrow PM=\frac{PQ\cdot{}(a-b)}{b} \\ MN=PM-PN=\frac{PQ\cdot{}(a-b)}{b}-\frac{PQ\cdot{}(x-b)}{b}=\frac{PQ\cdot{}(a-b-x+b)}{b}=\frac{PQ\cdot(a-x)}{b} \\ S_{ABEF}=\frac{AB+EF}{2}\cdot{MN}=\frac{a+x}{2}\cdot{}\frac{PQ\cdot(a-x)}{b}=\frac{PQ\cdot{}(a+x)\cdot{}(a-x)}{2\cdot{b}} \\ S_{FECD}=\frac{CD+EF}{2}\cdot{PN}=\frac{b+x}{2}\cdot{}\frac{PQ\cdot(x-b)}{b}=\frac{PQ\cdot{}(x+b)\cdot{}(x-b)}{2\cdot{b}} \\ S_{ABEF}=S_{FECD} \Leftrightarrow \frac{PQ\cdot{}(a+x)\cdot{}(a-x)}{2\cdot{b}}=\frac{PQ\cdot{}(x+b)\cdot{}(x-b)}{2\cdot{b}} \Leftrightarrow a^{2}-x^{2}=x^{2}-b^{2} \Leftrightarrow 2x^{2}=a^{2}+b^{2} \Leftrightarrow[/tex]$$ x=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} $$

[ammornil]

2. Даден е трапец ABCD, в който диагоналите се пресичат в точка O. Ако AB=6.CD и S[tex]\triangle[/tex] AOB =5 [tex]cm^{2 }[/tex], то намерете S[tex]\triangle[/tex] COD, S[tex]\triangle[/tex] BOC и S[tex]\triangle[/tex] AOD.[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-03-04 145525.png (20.91 KiB) Прегледано 2390 пъти

[tex]\\ \begin{cases} P\in{AB}, OP\bot{AB} \\ Q\in{CD}, OQ\bot{CD} \end{cases} \Rightarrow OP+OQ=h_{тр} \\ AB\| CD \Rightarrow \begin{cases} \angle{OAB}=\angle{OCD} \\ \angle{OBA}=\angle{ODC}\end{cases} \Rightarrow \triangle{AOB}\sim\triangle{COD} \Rightarrow \frac{S_{COD}}{S_{AOB}}=\frac{CD^{2}}{AB^{2}} \Leftrightarrow S_{COD}=\frac{CD^{2}}{36\cdot{CD^{2}}}\cdot{}S_{AOB}=\frac{S_{AOB}}{36}=\frac{5}{36}[cm^{2}] \\ \begin{cases} S_{ABD}=\frac{AB\cdot{PQ}}{2}=S_{AOB}+S_{AOD} \\ S_{ACD}=\frac{CD\cdot{PQ}}{2}=S_{COD}+S_{AOD} \end{cases} \Rightarrow \frac{AB}{CD}=\frac{S_{AOB}+S_{AOD}}{S_{COD}+S_{AOD}} \\ \frac{6}{1}=\frac{S_{AOB}+S_{AOD}}{S_{COD}+S_{AOD}} \Leftrightarrow 6\cdot{S_{COD}}+6\cdot{S_{AOD}}=S_{AOB}+S_{AOD} \Rightarrow \\ S_{AOD}=\frac{S_{AOB}-6\cdot{S_{COD}}}{5}=\frac{1}{5}\cdot{}\left(5-6\cdot{\frac{5}{36}} \right)=\frac{1}{5}\cdot{\frac{25}{6}}=\frac{5}{6}[cm^{2}]\\[/tex]Аналогично [tex]\\\begin{cases} S_{ABC}=\frac{AB\cdot{PQ}}{2}=S_{AOB}+S_{BOC} \\ S_{BCD}=\frac{CD\cdot{PQ}}{2}=S_{COD}+S_{BOC} \end{cases} \Rightarrow S_{BOC}=\frac{5}{6}[cm^{2}][/tex]
Проверете сметките за изчислителни грешки, защото смятах директно в ЛАТЕКС.