Задачи от геометрия

[Гост]

Домашното ми е общо 35 задачи, но за тези си нямам идея как стават
Зад.1. - Окръжностите k1 и k2 се пресичат в точки А и В. Допирателните към k1 и k2 в точката А ги пресича съответно в точки D и С. Ако АВ = 3, АС = 6 и АD = 4, да се намерят дължините на ВС и ВD.
Зад.2. - Хордата, съединяваща допирните точки на вписаната в равнобедрения трапец окръжност до бедрата му, има дължина 25. Ако радиусът на окръжността е 10, то намерете лицето на трапеца.
Зад.3. - Триъгълникът АВС има страни АВ = 10, АС = 14 и ВС = 16. Точките М и N са вътрешни точки за страните АС и ВС и такива, че в четириъгълника АВNМ може да се впише окръжност и около него може да се опише окръжност. Намерете дължината на отсечката МN.
Зад.4. - Диагоналите на правоъгълния трапец АВСD(AD⊥DC) се пресичат в точка О, която е на разстояние 2 от правата АD. Ако основата АВ = 6, намерете СD.
Зад.5. - В трапеца АВСD диагоналите АС и ВD се пресичат в точка О, като АО : ОС = 3 : 2. Ако точките М и N са средите на отсечките АО и ВО и правата МN пресича бедрото АD в точка К, намерете отношението АК : КD.

[KOPMOPAH]

Задачи от геометрия - 1.png (14.05 KiB) Прегледано 2555 пъти

Зелените ъгли са равни, червените - също, Жълтите триъгълници са подобни, оттам се получава съотношението за търсените отсечки.

[KOPMOPAH]

Задачи от геометрия - 2.png (12.52 KiB) Прегледано 2551 пъти

Скрит текст: покажи

Решавам параметрично, за да няма грешки в сметките.

В правоъгълния $\triangle AOD$ $OH=R$ се явява височина, значи $$R^2=\frac a2\cdot\frac b2\Rightarrow ab=4R^2~~~~~~~~(1)$$Хордата между допирните точки съм обозначил с $m$ и е равна на $$m=\frac {2ab}{a+b}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$Допускам, че това е основна задача, защото доказателството е на няколко реда, при необходимост мога да го приложа.

От $(2)$ получваме $$\frac {a+b}2=\frac{ab}m=\frac{4R^2}m$$ И в крайна сметка$$S_{ABCD}=\frac {a+b}2\cdot 2R=\cdots$$

[KOPMOPAH]

Задачи от геометрия - 3.png (15.77 KiB) Прегледано 2549 пъти

След като четириъгълникът е вписан в окръжност, значи сумата на червения и синия ъгъл е $180^\circ$, следователно червените ъгли са равни. Аналогично и зелените. Получава се, че $$\triangle MNC \approx \triangle MNC \Rightarrow \frac yz=\frac {16}{10},~~ \frac xz=\frac {14}{10} \Rightarrow \boxed{y=1,6z}~~\boxed{x=1,4z}~~\boxed{(x+y)=3z}$$От това, че четириъгълникът е описан около окръжност, следва$$z+10=14-y+16-x\Rightarrow z+10=30-(x+y)=30-3z\Rightarrow\cdots \boxed{z=5}$$

Скрит текст: покажи

Не можах да издържа на изкушението да направя точен чертеж, макар че за решението няма нужда от окръжностите

[Евва]

4 зад. ОН=2 (разстояние от т.О до правата AD)
CD=?
От OH - разстояние [tex]\Rightarrow[/tex] OH[tex]\bot[/tex]AD ,но CD[tex]\bot[/tex]AD ,тогава OH||CD||AB
Следователно тр-те ABD и HOD са с равни ъгли и по 1 признак са подобни
[tex]\frac{AB}{HO} = \frac{AD}{HD}[/tex] ;[tex]\frac{6}{2} = \frac{AD}{AD-AH}[/tex] ;3AD-3AH=AD ;2AD=3AH ; [tex]\frac{AD}{AH} = \frac{3}{2}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]ACD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]AOH (1 пр.) [tex]\frac{AD}{AH}= \frac{CD}{HO}[/tex] и ползваме (1)

[tex]\frac{3}{2}= \frac{CD}{2}[/tex] ; CD=3

[S.B.]

Зад.5. - В трапеца АВСD диагоналите АС и ВD се пресичат в точка О, като АО : ОС = 3 : 2. Ако точките М и N са средите на отсечките АО и ВО и правата МN пресича бедрото АD в точка К, намерете отношението АК : КD.

Без заглавие - 2024-03-11T210033.852.png (225.89 KiB) Прегледано 2489 пъти

$M$ е среда на $AO$ , $N$ е среда на $BO$ [tex]\Rightarrow MN[/tex] е средна отсечка за [tex]\triangle AOB \Rightarrow MN || AB[/tex]
През две точки минава точно една права , [tex]MN \cap AD = K \Rightarrow MK || AB[/tex]
[tex]\begin{cases} MK || AB \\ AB || CD \end{cases} \Rightarrow MK || CD[/tex]
Тогава [tex]\frac{AM}{MC} = \frac{AK}{KD}[/tex] (от Талес)

[tex]\frac{AO}{OC} = \frac{3}{2}[/tex]

$M$ е среда на $AO$ [tex]\Rightarrow \frac{AM}{MC} = \frac{1,5}{3,5} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}[/tex]
$$\Rightarrow \frac{AK}{KD} = \frac{3}{7} $$