Задача-закачка

[Гост]

Здравейте, група. Моля за помощ на следния проблем. Довеждам до последната точка, но не мога да докажа, че ъгълът е 90 градуса.
Бележка: не е позволено да я доказваме по друг начин. Нужно е да спазваме указанията.

[Евва]

Да си направим нов чертеж според първи ред от задачата .
[tex]\triangle[/tex]АВС със страни -a ,b ,c и медиана -m,нека [tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\beta[/tex],тогава [tex]\angle[/tex]DAC=90[tex]^\circ- \beta[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]ABC намираме [tex]\angle[/tex]ACB=90[tex]^\circ - \alpha[/tex]
Докажете ,че [tex]\frac{cos \beta }{sin \alpha } = \frac{cos \alpha }{sin \beta }[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} S_{ABD } = S_{ADC } \\ S_{ABD }= S_{ADC } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{mc.sin \alpha }{2} = \frac{mb.sin(90 ^\circ- \beta) }{2} \\ \frac{ \frac{a}{2} .c.sin \beta }{2} = \frac{ \frac{a}{2} .b.sin(90 ^\circ- \alpha) }{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} c.sin \alpha = bcos \beta \\ c.sin \beta = bcos \alpha \end{array}[/tex]

cos[tex]\beta[/tex]= [tex]\frac{c.sin \alpha }{b}[/tex] (1)
sin[tex]\beta[/tex]= [tex]\frac{b.cos \alpha }{c}[/tex] (2)

лява страна [tex]\frac{cos \beta }{sin \alpha } = \frac{ \frac{c.sin \alpha }{b} }{sin \alpha }[/tex]=[tex]\frac{c}{b}[/tex]

дясна страна [tex]\frac{cos \alpha }{sin \beta } = \frac{cos \alpha }{ \frac{b.cos \alpha }{c} }[/tex]=[tex]\frac{c}{b}[/tex]

Следователно [tex]\frac{cos \beta }{sin \alpha }= \frac{cos \alpha }{sin \beta }[/tex]

Тогава sin[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]=sin[tex]\beta[/tex]cos[tex]\beta[/tex] |.2[tex]\ne[/tex]0
sin(2[tex]\alpha[/tex]) =sin(2[tex]\beta[/tex]) и ([tex]\alpha, \beta[/tex]<90[tex]^\circ[/tex])
[tex]2\alpha=2 \beta[/tex] ;[tex]\alpha= \beta[/tex] (A)

(1 начин) от (A) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABD е равнобедрен и AD=BD ,но AD е медиана и тогава AD=BD=CD (3)
Теорема Ако в тр-к медианата към една от страните е равна на половината от същата страна ,то тр-ът е правоъгълен .
Доказахме (3) и от Т [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен с хипотенуза ВС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВАС=90[tex]^\circ[/tex]

(2 начин) От чертежа намираме [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]BAD+[tex]\angle[/tex]DAC =[tex]\alpha +90 ^\circ - \beta[/tex] [ползваме (А)]
[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\beta+90 ^\circ- \beta=90 ^\circ[/tex]
В математическа гимназия ли е дадена тази задача ?

[Гост]

Да си направим нов чертеж според първи ред от задачата .
[tex]\triangle[/tex]АВС със страни -a ,b ,c и медиана -m,нека [tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\beta[/tex],тогава [tex]\angle[/tex]DAC=90[tex]^\circ- \beta[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]ABC намираме [tex]\angle[/tex]ACB=90[tex]^\circ - \alpha[/tex]
Докажете ,че [tex]\frac{cos \beta }{sin \alpha } = \frac{cos \alpha }{sin \beta }[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} S_{ABD } = S_{ADC } \\ S_{ABD }= S_{ADC } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{mc.sin \alpha }{2} = \frac{mb.sin(90 ^\circ- \beta) }{2} \\ \frac{ \frac{a}{2} .c.sin \beta }{2} = \frac{ \frac{a}{2} .b.sin(90 ^\circ- \alpha) }{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} c.sin \alpha = bcos \beta \\ c.sin \beta = bcos \alpha \end{array}[/tex]

cos[tex]\beta[/tex]= [tex]\frac{c.sin \alpha }{b}[/tex] (1)
sin[tex]\beta[/tex]= [tex]\frac{b.cos \alpha }{c}[/tex] (2)

лява страна [tex]\frac{cos \beta }{sin \alpha } = \frac{ \frac{c.sin \alpha }{b} }{sin \alpha }[/tex]=[tex]\frac{c}{b}[/tex]

дясна страна [tex]\frac{cos \alpha }{sin \beta } = \frac{cos \alpha }{ \frac{b.cos \alpha }{c} }[/tex]=[tex]\frac{c}{b}[/tex]

Следователно [tex]\frac{cos \beta }{sin \alpha }= \frac{cos \alpha }{sin \beta }[/tex]

Тогава sin[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]=sin[tex]\beta[/tex]cos[tex]\beta[/tex] |.2[tex]\ne[/tex]0
sin(2[tex]\alpha[/tex]) =sin(2[tex]\beta[/tex]) и ([tex]\alpha, \beta[/tex]<90[tex]^\circ[/tex])
[tex]2\alpha=2 \beta[/tex] ;[tex]\alpha= \beta[/tex] (A)

(1 начин) от (A) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABD е равнобедрен и AD=BD ,но AD е медиана и тогава AD=BD=CD (3)
Теорема Ако в тр-к медианата към една от страните е равна на половината от същата страна ,то тр-ът е правоъгълен .
Доказахме (3) и от Т [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен с хипотенуза ВС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВАС=90[tex]^\circ[/tex]

(2 начин) От чертежа намираме [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]BAD+[tex]\angle[/tex]DAC =[tex]\alpha +90 ^\circ - \beta[/tex] [ползваме (А)]
[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\beta+90 ^\circ- \beta=90 ^\circ[/tex]
В математическа гимназия ли е дадена тази задача ?

Сърдечно благодаря, Ева!
Искам само попитам дали можете да ми разясните

sin(2[tex]\alpha[/tex]) =sin(2[tex]\beta[/tex])
[tex]2\alpha=2 \beta[/tex] ;[tex]\alpha= \beta[/tex]

[Евва]

От 2 ча'са се мъча да пратя решение .
Връзката се разпада и решението ми се изтрива .
Браво на Гост !
Забелязал е ,че sin е периодична функция и стойностите му ще се повтарят
през всеки следващ период 2[tex]\pi[/tex] .
Трябва да разгледаме и втори случай ,когато 180[tex]^\circ[/tex]-(2[tex]\alpha[/tex]) =2[tex]\beta[/tex]

Скрит текст: покажи

От малката табличка знаем ,че sin(2[tex]\alpha[/tex]) =sin [180[tex]^\circ[/tex]- (2[tex]\alpha[/tex]) ]

180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex]=2[tex]\beta[/tex]
[tex]\alpha+ \beta[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]
С това се връщаме към чертежа ,сега ъглите са [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex] ,[tex]\angle[/tex]ACB=90[tex]^\circ - \alpha = \beta[/tex] (от 3 ред на решението)
[tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex] ,[tex]\angle[/tex]DAC=90[tex]^\circ - \beta= \alpha[/tex] (от 2 ред на решението)

Което значи ,че [tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен с бедра АВ и АС .
АВ =АС Това е противоречие с условието на зад.[tex]\Rightarrow[/tex] 2 случай отпада .