Метрични зависимости.

[Гост]

Моля Ви за малко помощ със следната задача:

Хипотенузата AB в правоъгълния триъгълник ABC е 10 см. Ъглополовящата CL на правия ъгъл пресича описаната около триъгълника окръжност в точка P. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника ABP окръжност.


Благодаря Ви предварително!

[S.B.]

Моля Ви за малко помощ със следната задача:

Хипотенузата AB в правоъгълния триъгълник ABC е 10 см. Ъглополовящата CL на правия ъгъл пресича описаната около триъгълника окръжност в точка P. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника ABP окръжност.


Благодаря Ви предварително!

Без заглавие - 2024-04-22T153721.242.png (274.37 KiB) Прегледано 297 пъти

[tex]\angle ABP = \angle ACP = 45 ^\circ[/tex] и двата ъгъла са вписани и се измерват с една и съща дъга [tex]\overset {\displaystyle\frown}{AP}[/tex]
Аналогично [tex]\angle BCP = \angle BAP = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle APB[/tex] е правоъгълен и равнобедрен.
$AO = PO = BO = 5$
С Питагорова теорема се намира,че [tex]AP = BP = 5 \sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{ABP } = \frac{AB.OP}{2} = 25[/tex]
[tex]S_{ABP } = p.r[/tex]
[tex]p = \frac{10 + 2.5 \sqrt{2} }{2} \Leftrightarrow p = 5(1 + \sqrt{2})[/tex]
[tex]\Rightarrow 25 = 5(1 + \sqrt{2}).r \Rightarrow r = .....[/tex]