Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник ABC със страни a=5, b=12, c=13. Намерете дължините на трите ъглополовящи на триъгълника


Моля Ви за помощ и Благодаря предварително!!!!

[S.B.]

Даден е правоъгълен триъгълник ABC със страни a=5, b=12, c=13. Намерете дължините на трите ъглополовящи на триъгълника


Моля Ви за помощ и Благодаря предварително!!!!

Без заглавие - 2024-05-03T194652.990.png (365.73 KiB) Прегледано 208 пъти

1)Ъглополовяща [tex]A A_{1 }[/tex]:

[tex]A_{1 } \in BC , C A_{1 } = x, B A_{1 } = 5 - x[/tex]

От свойството на ъглополовящата :
[tex]\frac{C A_{1 } }{B A_{1 } } = \frac{AC}{AB } \Leftrightarrow \frac{x}{5 - x} = \frac{12}{13}[/tex] - от тук се намира [tex]CA_{1 } = x[/tex]

За [tex]\triangle AA_{1 } C[/tex], който е правоъгълен прилагаш Питагорова теорема:

[tex]AA_{1 } ^{2 } = AC^{2 } + A_{1 }C ^{2 } = ....[/tex]

2)Ъглополовяща [tex]BB_{1 }[/tex]:
Аналогично постъпваш:
[tex]B_{1 }C = y , A B_{1 } = 12-y[/tex]

[tex]\frac{C B_{1 } }{ B_{1 }A } = \frac{CB}{AB} \Leftrightarrow \frac{y}{12 - y} = \frac{5}{13}[/tex]

За [tex]\triangle B B_{1 }C[/tex] прилагаш Питагорова теорема:
[tex]B B_{1 } ^{2 } = C B_{1 } ^{2 } + CB^{2 }....[/tex]

3)Ъглополовяща [tex]CC_{1 }[/tex]:

т.[tex]C_{1 } \in C C_{1 } \Rightarrow[/tex] е на равни разстояния от раменете на правия ъгъл:

[tex]C_{1 }K \bot AC , C_{1 }T \bot BC , C_{1 }K = C_{1 }T = z[/tex]

[tex]K C_{1 } TC[/tex] е квадрат защото има 3 прави ъгъла и две съседни страни равни [tex]\Rightarrow C C_{1 } = z \sqrt{2}[/tex]

[tex]S_{ABC } = S_{AC C_{1 } }+ S_{BC C_{1 } } \Leftrightarrow \frac{AC.BC}{2} = \frac{AC. C_{1 }K }{2} + \frac{BC. C_{1 }T }{2} \Leftrightarrow \frac{5.12}{2}= \frac{12.z}{2} + \frac{5.z}{2} \Rightarrow 17z = 60 \Rightarrow z = \frac{60}{17}[/tex]
$$\Rightarrow C C_{1 } = \frac{60 \sqrt{2} }{17} $$