Отношения?

[Гост]

Моля за помощ с тази задача, предполагам се ползват отношения, но не мога да се сетя. Благодаря предварително!

[ammornil]

[tex]CD=x, \angle{CDA}=\varphi, \angle{CDB}=180^{\circ}-\varphi \Rightarrow \cos{\angle{CDB}}=-\cos{\varphi}\\ \begin{array}{|l} AC^{2}= CD^{2} +AD^{2} -2\cdot{}CD\cdot{}AD\cdot{}\cos{\angle{CDA}} \\ BC^{2}= BD^{2} +CD^{2} -2\cdot{}BD\cdot{}CD\cdot{}\cos{\angle{CDB}} \end{array} \\ \quad \begin{array}{|l} 36= x^{2} +16 -8\cdot{}x\cdot{}\cos{\varphi} \\ 144= 25 +x^{2} +10\cdot{}x\cdot{}\cos{\varphi} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \cos{\varphi}= \frac{\normalsize{x^{2}-20}}{\normalsize{8\cdot{x}}} \\ 25 +x^{2} +10\cdot{}x\cdot{}\frac{\normalsize{x^{2}-20}}{\normalsize{8\cdot{x}}}-144=0 \end{array} \\ x^{2} +\frac{5}{4}\cdot{}(x^{2}-20)-119=0 \Leftrightarrow 4x^{2}+5x^{2}-100-476=0 \Leftrightarrow \\ \quad \\ \Leftrightarrow 9x^{2}=576 \Leftrightarrow x^{2}=64 \Leftrightarrow x=8[/tex]

[Гост]

Има друг начин за решение, освен чрез тригонометрия?

[ammornil]

Теоремата на Стюарт май не се учи в основен курс на обучение... или греша?

Скрит текст: покажи

[tex]AC^{2}\cdot{BD}+BC^{2}\cdot{AD}=AB\cdot{}(CD^{2}+AD\cdot{}BD) \\ 180+576=9(x^{2}+20) \\ 9x^{2}+180=576+180 \Leftrightarrow x^{2}=64\\ x=8[/tex]

[Евва]

Забелязваме ,че [tex]\frac{4}{6}= \frac{6}{9}[/tex] т.е. [tex]\frac{AD}{AC} =\frac{AC}{AB}[/tex] (1)

[tex]\angle[/tex]CAD=[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\alpha[/tex] (2)

От (1) и (2) следва ,че по 2 признак [tex]\triangle ADC \approx \triangle ABC[/tex]

Тогава [tex]\frac{CD}{BC} =\frac{AD}{AC}[/tex] ;[tex]\frac{CD}{12} =\frac{4}{6}[/tex] ;CD=8 см.

[Гост]

Хиляди благодарности! ))

[ptj]

Забелязваме ,че [tex]\frac{4}{6}= \frac{6}{9}[/tex] т.е. [tex]\frac{AD}{AC} =\frac{AC}{AB}[/tex] (1)

[tex]\angle[/tex]CAD=[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\alpha[/tex] (2)

От (1) и (2) следва ,че по 2 признак [tex]\triangle ADC \approx \triangle ABC[/tex]

Тогава [tex]\frac{CD}{BC} =\frac{AD}{AC}[/tex] ;[tex]\frac{CD}{12} =\frac{4}{6}[/tex] ;CD=8 см.

Една много сериозна забележка. В подобните триъгълници съответните елементи се пишат на едни и същи позиции.

Правилно е [tex]\triangle BAC \approx \triangle CAD[/tex].

И съответно [tex]CD:12=CD:BC=AD:AC=4:6 \Rightarrow CD=8[/tex] см.

За подобна неточност на изпит могат да отсъдят решението ви като "грешно".