Втори признак за подобност - помощ

[nashiq111]

Моля за помощ за следната задача, защото забих.

[Гост]

От правоъгълния $\Delta APC\Rightarrow\angle PAC+\angle APC+\angle ACP=180^\circ\Rightarrow \angle PAC=180^\circ-\angle APC-\angle ACP=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ$ и $PC$ е катет срещу ъгъл от $30^\circ\Rightarrow PC=\frac{AC}{2}$

Аналогично от правоъгълния $\Delta BQC\Rightarrow\angle QBC+\angle BQC+\angle BCQ=180^\circ\Rightarrow \angle QBC=180^\circ-\angle BQC-\angle BCQ=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ$ и $QC$ е катет срещу ъгъл от $30^\circ\Rightarrow QC=\frac{BC}{2}$

Сега разглеждаме триъгълниците $\Delta ABC$ и $\Delta PQC$.

1) $\frac{PC}{AC}=\frac{\frac{AC}{2}}{AC}=\frac{1}{2}$ и $\frac{QC}{BC}=\frac{\frac{BC}{2}}{BC}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC}$

2) $\angle ACB=60^\circ$ - общ.

Следователно по втори признак $\Delta ABC\sim\Delta PQC$.

Следователно $\frac{PQ}{AB}=\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC}=\frac{1}{2}$

Следователно $PQ=\frac{AB}{2}=\frac{18}{2}=9\ cm$

[Евва]

Задачата може да се реши и по друг начин - без да се използва подобност .

[Евва]

Нека т.О е среда на отсечката АВ .
Около [tex]\triangle[/tex]ABQ и [tex]\triangle[/tex]ABP описваме една окр. K( O ;R=[tex]\frac{AB}{2}[/tex] (1) )

Вписаният [tex]\angle[/tex]QAP =[tex]\angle[/tex]CAP =30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] дъгата PQ=60[tex]^\circ[/tex]
Централният [tex]\angle[/tex]QOP = дъгата PQ =60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]OPQ е равнобедрен (OP=OQ=R) ,при който [tex]\angle[/tex]QOP=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]OPQ е равностранен

Тогава PQ=OP=OQ =R (2)
От (1) и (2) следва PQ= [tex]\frac{AB}{2} = \frac{18}{2}[/tex] =9 см.