Задача от дробни рационални неравенства

[geoder]

Здравейте, изпитвам затруднение със следната задача:

[tex]\frac{x+3}{x-1}[/tex] - [tex]\frac{4}{x-3}[/tex] + 2 [tex]\ge[/tex]0

След въвеждане на израза в програма за съставяне на графика на функция, стигаме до извода, че той е по-голям или равен на нула в интервала (1;3). Има ли как задачата да се реши по рационален начин, без да се налага да изследваме графиката на f(x) = [tex]\frac{x+3}{x-1}[/tex] - [tex]\frac{4}{x-3}[/tex] + 2?

[ammornil]

Здравейте, изпитвам затруднение със следната задача:

[tex]\frac{x+3}{x-1}[/tex] - [tex]\frac{4}{x-3}[/tex] + 2 [tex]\ge[/tex]0

След въвеждане на израза в програма за съставяне на графика на функция, стигаме до извода, че той е по-голям или равен на нула в интервала (1;3). Има ли как задачата да се реши по рационален начин, без да се налага да изследваме графиката на f(x) = [tex]\frac{x+3}{x-1}[/tex] - [tex]\frac{4}{x-3}[/tex] + 2?

$\\[12pt] \dfrac{x+3}{x-1} -\dfrac{4}{x-3} +2 \geq{} 0 \\[6pt] \quad \text{ДМ: } \begin{array}{|l} x-1\neq{}0 \\ x-3\neq{}0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x \neq{} 1 \\ x \neq{} 3 \end{array} \Rightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty) \\[12pt] \underbrace{\dfrac{x+3}{x-1} -\dfrac{4}{x-3} +2}_{(x-1)(x-3)} \geq{} 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{(x+3)(x-3)-4(x-1) +2(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-3)} \geq{} 0 \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^{2} -9 -4x +4 +2x^{2} -8x +6}{(x-1)(x-3)} \geq{} 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{3x^{2} -12x +1}{(x-1)(x-3)} \geq{} 0 \\[12pt] $

Скрит текст: покажи

$ 3x^{2} -12x +1 = 0 \rightarrow x_{1,2}=\dfrac{-(-6)\pm{}\sqrt{(-6)^{2}-3\cdot{}1}}{3}= \dfrac{6\pm{}\sqrt{33}}{3} $

$\\[12pt] f(x) = \dfrac{3\left(x - \dfrac{6-\sqrt{33}}{3} \right)\left(x - \dfrac{6+\sqrt{33}}{3} \right)}{(x-1)(x-3)} \geq{} 0 \\[12pt] \begin{array}{l} & -\infty && \dfrac{6-\sqrt{33}}{3} && 1 && 3 && \dfrac{6+\sqrt{33}}{3} && +\infty \\[6pt] f(x) && + && - &|& + &|& - && + \end{array} $ $$ x \in {} \left(-\infty; \dfrac{6-\sqrt{33}}{3}\right] \cup (1; 3) \cup \left[\dfrac{6+\sqrt{33}}{3}; +\infty\right) \\[36pt]$$ p.s. Не знам Вие коя програма ползвате за да построите графика, но от графиката също се вижда, че имаме три интервала в които е изпълнено неравенството.$\\[6pt]$

Screenshot 2025-03-09 235456.png (21 KiB) Прегледано 280 пъти

[geoder]

Благодаря за помощта! Използвам същата програма (Desmos), просто не бях въвел правилно израза.