Отношения във вписан в окръжност триъгълник

[geoder]

Здравейте, как се доказва следната формула:

R = [tex]\frac{ab}{2(hc)}[/tex],

където R е радиусът на описаната около триъгълника окръжност, a и b са страните AB и BC, а hc е височината от върха C.

Прилагам чертеж:

[Гост]

Така както гледам чертежа височината е от върха B,а не от върха C....

[geoder]

Така както гледам чертежа височината е от върха B,а не от върха C....

Разменил съм местата на точки B и C.
Правилните чертеж и формулировка са:
а - страната АС
b - страната BC
h - височината от връх С
т. О - център на описаната окръжност
R - радиус на описаната окръжност

[Darina73]

Нека т.М е среда на отс.ВС ,да начертаем ВН -височина в [tex]\triangle[/tex]АВС и симетралата на отс.ВС (която ще мине през т.М и т.О )
Да означим [tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\alpha[/tex] .
В равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ВСО ОМ е височина ,медиана и ъглополовяща (1)
централният [tex]\angle[/tex]ВОС= 2вписания [tex]\angle[/tex]ВАС
[tex]\angle[/tex]ВОС= 2[tex]\alpha[/tex] , от (1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВОМ =[tex]\alpha[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ОВМ -правоъг.) sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{BM}{OB} =\frac{ \frac{BC}{2} }{R} ; sin \alpha= \frac{a}{2R}[/tex] (2)
([tex]\triangle[/tex]ABH-правоъг.) sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{BH}{AB} ; BH=c.sin \alpha[/tex] (3)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[tex]S_{ABC }= \frac{AC.BH}{2}= \frac{bc.sin \alpha }{2}= \frac{ \frac{bc}{1}. \frac{a}{2R} }{2}= \frac{abc}{4R}[/tex]

Доказахме ,че [tex]S_{ABC } = \frac{abc}{4R}[/tex]

S=[tex]\frac{ \frac{ab}{1}. \frac{2S}{ h_{c } } }{4R}[/tex] ; 1=[tex]\frac{ab}{2 h_{c }R }[/tex]

R=[tex]\frac{ab}{2 h_{c } }[/tex]

[S.B.]

Здравейте, как се доказва следната формула:

R = [tex]\frac{ab}{2(hc)}[/tex],

където R е радиусът на описаната около триъгълника окръжност, a и b са страните AC и BC, а hc е височината от върха C.

Без заглавие - 2025-03-15T161644.700.png (293.53 KiB) Прегледано 126 пъти

Още един поглед върху задачата:

Центърът на описаната окръжност съвпада с пресечната точка на симетралите.Построявам симетралата [tex]S_{AC }[/tex] на страната $AC$
[tex]\begin{cases} S_{AC } \bot AC\\ S_{AC } \cap AC = S\end{cases}[/tex]
Нека [tex]\angle ABC = \beta[/tex]
[tex]\angle ABC = \beta =\displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AC}}{2}[/tex] (като вписан ъгъл) [tex]\Rightarrow \overset{\displaystyle \frown}{AC} = 2 \beta[/tex]
[tex]\triangle AOC[/tex] е равнобедрен , [tex]\angle AOC = \overset {\displaystyle \frown}{AC}= 2 \beta[/tex] (като централен ъгъл)

$OS$ е височина,ъглополовяща и медиана за равнобедрения [tex]\triangle AOC[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle COS = \frac{1}{2} \angle COA \Rightarrow \angle COS = \beta[/tex]

[tex]\triangle COS \approx \triangle CDB[/tex] (ЗАЩО ?)

[tex]\Rightarrow \displaystyle\frac{CS}{CD} =\displaystyle \frac{CO}{CB} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle \frac{a}{2} }{ h_{c } } = \displaystyle\frac{R}{b} \Leftrightarrow\displaystyle \frac{a}{2 h_{c } } = \displaystyle\frac{R}{b}[/tex]
$$\Rightarrow R = \frac{ab}{2 h_{c } }$$