Решаване на равнобедрен и правоъгълен трапец

[Гост]

Здравейте! Намерих "решение" (защото не знам дали е вярно) на следната задача, но не съвпада с отговорите, които са дадени в последните страници на учебника.

Задачата е следната: Намерете основите на равнобедрен трапец с височина 6 cm и бедро 10 cm, ако средната му основа е 12 cm.

Моето решение е следното:
Построяваме височина DH, която е равна на 6 cm (H[tex]\in[/tex]AB).
(Може би това е излишно, но при мен голямата основа е a, а малката е b)
Тъй като средната основа на трапец (MN, която е успоредна на двете основи) е равна на полусбора им, то следва, че сбора на основите е 24 cm (MN=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]2MN=a+b [tex]\Rightarrow[/tex]2x12=a+b [tex]\Rightarrow[/tex]24=a+b).

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]AHD ([tex]\angle[/tex]AHD=90[tex]^\circ[/tex])
По Пирагоровата теорема следва, че отсечката AH =[tex]\sqrt{x}[/tex] [tex]c^{2 }[/tex]-[tex]b^{2 }[/tex] = [tex]\sqrt{x}[/tex] [tex]AD^{2 }[/tex]-[tex]HD^{2 }[/tex] =
[tex]\sqrt{x}[/tex] [tex]10^{2 }[/tex]-[tex]6^{2 }[/tex] =
[tex]\sqrt{x}[/tex] 100 - 36 = [tex]\sqrt{x}[/tex] 64 = 8 cm.

Построявам височината CP (P[tex]\in[/tex]AB)

По четвърти признак за еднаквост на триъгълници, или още известен като „Признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници” доказвам, че [tex]\triangle[/tex]AHD и [tex]\triangle[/tex]BPC са еднакви. От там следва, че AH=BP=8 cm. (Тук е момента да добавя, че AH+BP=16 cm, което ще ми помогне за решаването)

Вече с помощта на система (a+b=24 и b+16=a) намирам, че a=20 cm и b=4 cm.

Тук идва голямото разочарование: аз получавам, че дължините на основите са 20 cm и 4 cm, а отзад в отговорите пише, че са 16 cm и 8 cm.

Сега, може в обяснението и/или решението да съм допуснала някъде грешка. Поради тази причина, ще помоля някой да провери решението и да ми каже дали тези разлики между отговорите са фатални. Освен това, как изобщо са стигнали до отговора, че дължините на основите са 16 cm и 8 cm?

Благодаря предварително!

[ammornil]

$\quad$Вашето решение е вярно. Ако основите на равнобедрен трапец са $16$ и $8$, при бедро $10$, височината на трапеца е $\sqrt{10^{2}- 4^{2}}= 2\sqrt{21} \ne{6} \\[24pt]$

Скрит текст: покажи

Screenshot 2025-05-09 171558.png (16.43 KiB) Прегледано 128 пъти

$\\[12pt] ABCD, \quad AB\| CD, \quad AD =BC =10 \\[6pt] C_{1}\in{AB}, CC_{1}\bot{AB}, \quad D_{1}\in{AB}, DD_{1}\bot{AB}, \quad CC_{1} =DD_{1} =6 \\[6pt] AB +CD= 24 \\[6pt] AB=a, BC=b \\[6pt] \begin{cases} DD_{1}\| CC_{1} \\ DC\| D_{1}C_{1} \\ \measuredangle{DD_{1}C_{1}}= 90^{\circ} \end{cases} \Rightarrow CDD_{1}C_{1} $ е правоъгълник $\Rightarrow D_{1}C_{1}= DC =b \\[6pt] AD_{1}= BC_{1}= \sqrt{10^{2}-6^{2}}= 8 \\[12pt] AB= AD_{1} +D_{1}C_{1} +C_{1}B \Leftrightarrow a= 8 +b +8 \Leftrightarrow a = 16+b \\[12pt] a+b=24 \Leftrightarrow 16+b+b=24 \Leftrightarrow b= 4 \Rightarrow a=20$

[Гост]

$\quad$Вашето решение е вярно. Ако основите на равнобедрен трапец са $16$ и $8$, при бедро $10$, височината на трапеца е $\sqrt{10^{2}- 4^{2}}= 2\sqrt{21} \ne{6} \\[24pt]$

Скрит текст: покажи

Screenshot 2025-05-09 171558.png

$\\[12pt] ABCD, \quad AB\| CD, \quad AD =BC =10 \\[6pt] C_{1}\in{AB}, CC_{1}\bot{AB}, \quad D_{1}\in{AB}, DD_{1}\bot{AB}, \quad CC_{1} =DD_{1} =6 \\[6pt] AB +CD= 24 \\[6pt] AB=a, BC=b \\[6pt] \begin{cases} DD_{1}\| CC_{1} \\ DC\| D_{1}C_{1} \\ \measuredangle{DD_{1}C_{1}}= 90^{\circ} \end{cases} \Rightarrow CDD_{1}C_{1} $ е правоъгълник $\Rightarrow D_{1}C_{1}= DC =b \\[6pt] AD_{1}= BC_{1}= \sqrt{10^{2}-6^{2}}= 8 \\[12pt] AB= AD_{1} +D_{1}C_{1} +C_{1}B \Leftrightarrow a= 8 +b +8 \Leftrightarrow a = 16+b \\[12pt] a+b=24 \Leftrightarrow 16+b+b=24 \Leftrightarrow b= 4 \Rightarrow a=20$

Благодаря Ви!