Тригонометрична задача

[Гост]

Моля за малко помощ

[ammornil]

Предполагам някъде напред в учебника или сборника може би е казано нещо затова къде лежи $\alpha$, но както сте дали снимката ще трябва да разгледаме всички възможности. Има няколко начина да подходим:$\\[12pt]$(1) заместваме $\cotg{\alpha}=\dfrac{1}{\tg{\alpha}}$ и намираме $\tg{\alpha}$, после решаваме системата $\begin{array}{|l} \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}= \tg{\alpha} \\[6pt] \sin^{2}{\alpha}+ \cos^{2}{\alpha}= 1 \end{array}$;$\\[12pt]$(2) директно решаваме системата $\begin{array}{|l} \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} + \dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}= \dfrac{7}{12} \\[6pt] \sin^{2}{\alpha}+ \cos^{2}{\alpha}= 1 \end{array}$;$\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

$ \tg{\alpha}= t \Rightarrow t-\dfrac{1}{t}=\dfrac{7}{12} \Leftrightarrow 12t^{2}-12=7t \Leftrightarrow 12t^{2}-7t-12=0 \\[6pt] t_{1,2}=\dfrac{7\pm\sqrt{(-7)^{2}-4\cdot{12}\cdot{(-12)}}}{2\cdot{12}}= \dfrac{7\pm25}{24} \\[12pt] t_{1}=-\dfrac{3}{4} \quad \cup \quad t_{2}=\dfrac{4}{3} \\[6pt] \tg{\alpha_{1}}= -\dfrac{3}{4} \quad \cup \quad \tg{\alpha_{2}}= \dfrac{4}{3} \Rightarrow \cotg{\alpha_{1}}= -\dfrac{4}{3} \quad \cup \quad \cotg{\alpha_{2}}= \dfrac{3}{4}\\[12pt]{\alpha_{1}}: \quad \dfrac{\sin{\alpha_{1}}}{\cos{\alpha_{1}}}=-\dfrac{3}{4} \Rightarrow \sin{\alpha_{1}}=-\dfrac{3}{4}\cos{\alpha_{1}} \\[6pt] \quad \dfrac{9}{16}\cos^{2}{\alpha_{1}}+ \cos^{2}{\alpha_{1}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{25}{16}\cos^{2}{\alpha_{1}}=1 \Leftrightarrow \cos{\alpha_{1}}=\pm\dfrac{4}{5} \\[6pt] \boxed{{\alpha_{1,1}}}: \quad \cos{\alpha_{1,1}}= -\dfrac{4}{5} \Rightarrow \sin{\alpha_{1,1}}= \dfrac{3}{5}, \tg{\alpha_{1,1}}= -\dfrac{3}{4}, \cotg{\alpha_{1,1}}= -\dfrac{4}{3} \\[6pt] \boxed{{\alpha_{1,2}}}: \quad \cos{\alpha_{1,2}}= \dfrac{4}{5} \Rightarrow \sin{\alpha_{1,2}}= -\dfrac{3}{5}, \tg{\alpha_{1,2}}= -\dfrac{3}{4}, \cotg{\alpha_{1,2}}= -\dfrac{4}{3} \\[24pt] {\alpha_{2}}: \quad \dfrac{\sin{\alpha_{2}}}{\cos{\alpha_{2}}}=\dfrac{4}{3} \Rightarrow \sin{\alpha_{2}}=\dfrac{4}{3}\cos{\alpha_{2}} \\[6pt] \quad \dfrac{16}{9}\cos^{2}{\alpha_{2}}+ \cos^{2}{\alpha_{2}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{25}{9}\cos^{2}{\alpha_{2}}=1 \Leftrightarrow \cos{\alpha_{2}}=\pm\dfrac{3}{5} \\[6pt] \boxed{{\alpha_{2,1}}}: \quad\cos{\alpha_{2,1}}= -\dfrac{3}{5} \Rightarrow \sin{\alpha_{2,1}}= -\dfrac{4}{5}, \tg{\alpha_{2,1}}= \dfrac{4}{3}, \cotg{\alpha_{2,1}}= \dfrac{3}{4} \\[6pt] \boxed{{\alpha_{2,2}}}: \quad \cos{\alpha_{2,2}}= \dfrac{3}{5} \Rightarrow \sin{\alpha_{2,2}}= \dfrac{4}{5}, \tg{\alpha_{2,2}}= \dfrac{4}{3}, \cotg{\alpha_{2,2}}= \dfrac{3}{4}\\[6pt]$ Оттук можете да пресметнете търсените линейни комбинации във всички четири случая...

[ammornil]

Един знак съм объркал горе: $\\[12pt]$(2) директно решаваме системата $\begin{array}{|l} \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \red{-} \dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}= \dfrac{7}{12} \\[6pt] \sin^{2}{\alpha}+ \cos^{2}{\alpha}= 1 \end{array}$;$\\[12pt]$

[ptj]

По принцип за синус и косинус има готови формули през тангес и котангес:

[tex]1+tg^2( \alpha) = \frac{1}{cos^2( \alpha )}[/tex]

[tex]1+ctg^2( \alpha )= \frac{1}{sin^2( \alpha )}[/tex]

П.П. Решението на системата на ammornil естествено дава същия резултат.