Функция с параметър

[Гост]

Моля за помощ.

[ammornil]

Screenshot 2025-11-11 152519.png (30.63 KiB) Прегледано 182 пъти

$\\[12pt] f(x)=x^{2}-4ax+a^{2}-2a+6, \quad x\in{[1;4]}, \because\ f(x)_{min}=1 \Rightarrow \quad a=?\\[12pt]$ Не знам дали сте учили производни, затова ще Ви говоря за минимума на квадратен тричлен, което може би е малко по-дългото решение на поставения проблем. Дадената функция е квадратен многочлен спрямо $x$ и коефицинтът пред втората степен е положителен, следователно параболата е обърната с върха надолу и функцията има абсолютен минимум във върха на параболата, точката $x_{0}=-\dfrac{p}{2q}$, където $p$ е коефициентът пред първата степен на неизвестното, а $q$ е коефиинтът пред втората тепен на неизвестното. За нашата функция $$x_{0}= -\dfrac{-4a}{2\cdot{1}}= 2a$$ Имаме три случая за това къде лежи върхът на параболата спрямо дадения интервал.

(1) Ако $x_{0}$ лежи в дадения интервал, следователно $ 1\leq{2a}\leq{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\leq{a}\leq{2}\\[6pt]$ Tогава тaм е минимумът на функцията в интервала. $\\[6pt]f(x)_{min}=f(x_{0})= (2a)^{2}-4a\cdot{2a}+a^{2}-2a+6 = 4a^{2}-8a^{2}+a^{2}-2a+6= -3a^{2}-2a+6 \\[6pt] f(x)_{min} =1 \Rightarrow -3a^{2}-2a+6=1 \quad \Leftrightarrow \quad 3a^{2}+2a-5=0 \Rightarrow D_{a}=(1)^{2}-3\cdot{(-5)}=16 \\[6pt] \Rightarrow a_{1,2}=\dfrac{-1\pm 4}{3}\\[6pt] \begin{cases} a_{1}=-\dfrac{5}{3}\notin{\left[\dfrac{1}{2};2\right]} \\ \boxed{a_{2}= 1 \in{\left[\dfrac{1}{2};2\right]} } \end{cases}\\[6pt]$В този случай имаме едно решение за $a=1$

(2) Ако $x_{0}$ лежи в ляво от дадения интервал, следователно $ 2a<{1} \Leftrightarrow a<{\dfrac{1}{2}}\\[6pt]$ Тогава минимумът на фунцията в дадения интервал е в левия край на интервала. $ \\[6pt]f(x)_{min}=f(1)= (1)^{2}-4a\cdot{1}+a^{2}-2a+6 = 1-4a+a^{2}-2a+6= a^{2}-6a+7 \\[6pt] f(x)_{min} =1 \Rightarrow a^{2}-6a+7=1 \quad \Leftrightarrow \quad a^{2}-6a+6=0 \\[6pt] \Rightarrow D_{a}=(-3)^{2}-1\cdot{6}=3 \Rightarrow a_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{1} \not<{\dfrac{1}{2}}\\[6pt]$Този случай няма решение.

(3) Ако $x_{0}$ лежи в дясно от дадения интервал, следователно $ 2a>{4} \Leftrightarrow a>{2}\\[6pt]$ Tогава минимумът на фунцията в дадения интервал е в десния край на интервала. $\\[6pt]f(x)_{min}=f(4)= (4)^{2}-4a\cdot{4}+a^{2}-2a+6 = 16-16a+a^{2}-2a+6= a^{2}-18a+22 \\[6pt] f(x)_{min} =1 \Rightarrow a^{2}-18a+22=1 \quad \Leftrightarrow \quad a^{2}-18a+21=0 \\[6pt] \Rightarrow D_{a}=(-9)^{2}-1\cdot{21}=60 \Rightarrow a_{1,2}=\dfrac{9\pm2\sqrt{15}}{1} \\[6pt] \begin{cases} a_{1}=9-2\sqrt{15} \not> 2 \\ \boxed{a_{2}= 9+2\sqrt{15} > 2} \end{cases}\\[6pt]$В този случай имаме едно решение за $a=9+2\sqrt{15}$.$\\[24pt]$Проверете сметките за грешки в изчисленията.