Лице на правоъгълник

[S.B.]

В правоъгълника $ABCD$ , върху страната $CD$ е избрана точка $F$ ,такава,че в [tex]\triangle AFD[/tex] е вписана окръжност с радиус $r=2$,а в трапеца $ABCF$ окръжност с радиус $R=6$
Да се намери лицето на $ABCD$

[Darina73]

[tex]S_{ABCD }[/tex]= 180

Въпросът е , може ли да ползваме подобни триъгълници .

[S.B.]

[tex]S_{ABCD }[/tex]= 180

Въпросът е , може ли да ползваме подобни триъгълници .

Отговорът е 180.Мисля,че подобни триъгълници се изучават в 9 клас и би трябвало да може да се използват.

[Darina73]

Окр. [tex]К_{1 } ( О_{1 }[/tex]; R =6 ) -вписана в трапеца ABCF
Окр. [tex]К_{2 } ( О_{2 }[/tex]; r =2 ) -вписана в [tex]\triangle[/tex]AFD
Нека [tex]K_{1 }[/tex] се допира до страните AF ,CF съответно в т. Q ,т. M и [tex]K_{2 }[/tex] се допира до
страните AF ,FD ,AD съответно в т. L , т.T , т.E .

Скрит текст: покажи

Точка Q лежи м/у т.A и т.L .

Нека TF=a и QL=c .

[tex]\triangle[/tex]AFD -правоъгълен [tex]AD^{2 } +DF^{2 } =AF^{2 } ; 12^{2 } +(2+a)^{2 } =(10+a)^{2 }[/tex]

144+4+4a+[tex]a^{2 } =100+20a+a^{2 }[/tex] ; a=3 (1)
F[tex]O_{1 }[/tex] и [tex]F_{2 }[/tex] са ъглополовящи на съседни ъгли [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle O_{1 }F O_{2 }[/tex] =90[tex]^\circ[/tex]
По построение [tex]\angle O_{1 }QF =90 ^\circ[/tex]
Тогава острите [tex]\angle[/tex]Q[tex]O_{1 }F[/tex] и [tex]\angle[/tex]LF[tex]O_{2 }[/tex] са с взаимно перпендикулярни рамене [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]Q[tex]O_{1 }F[/tex]=[tex]\angle[/tex] [tex]LF O_{2 }[/tex]
[tex]\triangle[/tex]Q[tex]O_{1 }[/tex]F[tex]\approx \triangle[/tex]LF[tex]O_{2 }[/tex] (1 признак) [tex]\frac{QF}{ O_{2 }L } =\frac{ O_{1 }Q }{FL} ; \frac{a+c}{2}= \frac{6}{a}[/tex] ; a(a+c)=12
3(3+c)=12 ; c=1 (2)

CD=CM+MF+FT+TD= 6+FQ+a+2= 6+(a+c)+a+2=2a+c+8 ; CD=6+1+8 =15
[tex]S_{ABCD }[/tex]= BC.CD=12.15 =180

[S.B.]

В правоъгълника $ABCD$ , върху страната $CD$ е избрана точка $F$ ,такава,че в [tex]\triangle AFD[/tex] е вписана окръжност с радиус $r=2$,а в трапеца $ABCF$ окръжност с радиус $R=6$
Да се намери лицето на $ABCD$

Без заглавие - 2025-11-21T121034.640.png (280.85 KiB) Прегледано 46 пъти

Ще представя и моето решение
В трапецът $ABCF$ е вписана окръжност с радиус [tex]R = 6 \Rightarrow BC = 2R = 12[/tex]
В правоъгълника $ABCD$ , $AD= BC = 12$
$$S_{ABCD } = S_{AFD } + S_{ABCF }$$

1) [tex]\triangle AFD[/tex]
Вписаната окръжност с радиус $r = 2$ се допира до страните на [tex]\triangle AFD[/tex] както е показано на чертежа в точките $P,M$ и $N$.
$MD = ND = r = 2$
$AD = 12 ,AD= AN + ND = 10 + 2 = 12$
$AP = AN = 10$ (като допирателни от външната точка $A$ към окръжността)
Нека $FM = x$
$FD = FM + MD = x + 2$
$FM = FP = x$ (допирателни от външна точка)
За страните на [tex]\triangle AFD[/tex] получих $AD = 10 +2 = 12 , FD = x + 2 , AF = AP + PF = 10 + x$
За [tex]\triangle AFD[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex](10 +x)^{2 } = (x + 2)^{2 } + 12^{2 } \Leftrightarrow 100 + 20x + x^{2 }= x^{2 } + 4x + 4+ 144 \Leftrightarrow 16x = 48 \Rightarrow x = 3[/tex]
[tex]AF = 13, AD = 12,DF = 5 \Rightarrow P_{AFD } = 30 \Rightarrow p_{AFD }= 15[/tex]
$$S_{AFD }= p.r = 15.2 = 30$$
2) В трапецът $ABCF$ може да се впише окръжност [tex]\Rightarrow AF + BC = AB + CF \Rightarrow p_{ABCF } = AF + BC = 13+12 = 25[/tex]
$$S_{ABCF } = p.R = 25.6 = 150$$
$$ S_{ABCD } = S_{AFD } + S_{ABCF } = 30 + 150 = 180 $$