Тъпоъгълен триъгълник

[Гост]

Даден е [tex]\triangle[/tex] ABC в който [tex]\angle[/tex]ACB >90[tex]^\circ[/tex], AC = 5 см , AB = 11 см.
Върху страната AB е избрана т. M ,такава,че AM = 1см, [tex]\angle[/tex]MCB = 90[tex]^\circ[/tex]
Да се намери лицето на [tex]\triangle[/tex]MBC.

[ammornil]

$\triangle{ABC}, AB=11, AC=5, \angle{ACB}>90^{\circ}\\[6pt] M\in{AB}, AM=1, MC\bot{BC}\\[6pt]\quad S_{MBC}=?\\[12pt]$

Screenshot 2026-01-09 150824.png (36.32 KiB) Прегледано 126 пъти

$\\[12pt] \angle{ABC}=\beta, \quad MB=AB-AM= 10, \quad BC=x \\[12pt] \triangle{MCB}: \quad \angle{MCB}=90^{\circ} \Rightarrow \cos{\beta}=\dfrac{BC}{MB}= \dfrac{x}{10}\\[12pt] \triangle{ABC}: \quad AC^{2}= AB^{2} +BC^{2} -2\cdot{AB}\cdot{BC}\cdot{\cos{\beta}} \\[6pt] \quad \Rightarrow 5^{2}= 11^{2} +x^{2} -2\cdot{11}\cdot{x}\cdot{\dfrac{x}{10}} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{11}{5}x^{2} -x^{2}= 11^{2} -5^{2} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{6}{5}x^{2}= 96 \\[6pt] \quad \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}=\dfrac{5\cdot{96}}{6} \Leftrightarrow \quad x= 4\sqrt{5} \Rightarrow \boxed{\quad BC=4\sqrt{5}\quad } \\[12pt] \triangle{MCB}: \quad \angle{MCB}=90^{\circ} \Rightarrow MC^{2}= MB^{2} -BC^{2} \quad \Leftrightarrow \quad MC= \sqrt{MB^{2}-BC^{2}} \\[6pt] \quad \quad \Leftrightarrow \quad MC= \sqrt{100 -80} \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{\quad MC= 2\sqrt{5}\quad} \\[12pt] S_{MBC}=\dfrac{MC\cdot{BC}}{2} \quad \Leftrightarrow \quad S_{MBC}= \dfrac{2\sqrt{5}\cdot{4\sqrt{5}}}{2} \quad \Leftrightarrow \quad $ $$ S_{MBC}= 20 $$

Скрит текст: покажи

Алтернативно след като намерихме $BC= 4\sqrt{5}$ можем да намерим търсеното лице и така:$\\[6pt] \cos{\beta}=\dfrac{BC}{2} \Rightarrow \cos{\beta}= \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \\[6pt] \sin{\beta}= \sqrt{1-\cos^{2}{\beta}} \quad \Leftrightarrow \quad \sin{\beta}= \sqrt{1-\dfrac{4}{5}} \quad \Leftrightarrow \quad \sin{\beta}= \dfrac{\sqrt{5}}{5} \\[6pt] S_{MBC}= \dfrac{1}{2}\cdot{MB}\cdot{BC}\cdot{\sin{\beta}} \quad \Leftrightarrow \quad S_{MBC}= \dfrac{1}{2}\cdot{10}\cdot{4\sqrt{5}}\cdot{\dfrac{\sqrt{5}}{5}} \quad \Leftrightarrow \quad S_{MBC}=20$

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle[/tex] ABC в който [tex]\angle[/tex]ACB >90[tex]^\circ[/tex], AC = 5 см , AB = 11 см.
Върху страната AB е избрана т. M ,такава,че AM = 1см, [tex]\angle[/tex]MCB = 90[tex]^\circ[/tex]
Да се намери лицето на [tex]\triangle[/tex]MBC.

Без заглавие - 2026-01-09T185701.504.png (169.85 KiB) Прегледано 116 пъти

Още един поглед върху задачата:

Построявам [tex]CH \bot AB , H \in AB[/tex]
$CH$ е височина в правоъгълния [tex]\triangle MBC \Rightarrow CH^{2 } = MH.HB[/tex]
$MB = 10, MH = x , HB = 10-x$
[tex]\Rightarrow CH^{2 } = x(10-x)[/tex]
За правоъгълния [tex]\triangle AHC[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AC^{2 } = AH^{2 } + HC^{2 } \Leftrightarrow 5^{2 } = (1+x)^{2 }+ x(10 - x) \Leftrightarrow 25 = 1 + 2x + x^{2 } + 10x - x^{2 } \Leftrightarrow 12x = 24[/tex]
$$\Rightarrow x = 2$$
[tex]CH = \sqrt{x.(10-x)} = \sqrt{2.8} = \sqrt{16}[/tex]
$$\Rightarrow CH = 4$$
[tex]S_{MBC } = \frac{MB.CH}{2} = \frac{10.4}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{MBC } = 20 cm^{2 } $$

[Гост]

Благодаря и за двете решения,но първото не го разбирам.В 9 клас не сме учили такива формули.
Все пак благодаря за отделеното време.Второто решение го разбрах.