Лице на успоредник

[Гост]

В успоредника ABCD точките M и N са среди съответно на страните AD и CD, като MN = 9 см., а [tex]\angle[/tex] MNB = 90[tex]^\circ[/tex].
Ако BC = 10 см. да се намери лицето на успоредника ABCD.

[ammornil]

В успоредника ABCD точките M и N са среди съответно на страните AD и CD, като MN = 9 см., а [tex]\angle[/tex] MNB = 90[tex]^\circ[/tex].
Ако BC = 10 см. да се намери лицето на успоредника ABCD.

$\\[12pt]$

Screenshot 2026-02-05 204442.png (17.42 KiB) Прегледано 83 пъти

$\\[12pt]ABCD,\quad AB\overset{\|}{=}CD,\quad BC\overset{\|}{=}AD=10[cm] \\ M\in{AD}, AM=MD, \quad N\in{CD}, CN=ND, \quad MN=9[cm], \quad \angle{MNB}=90^{\circ} \\[6pt] S_{ABCD}=? \\[12pt]AB=CD=x, \quad \angle{DAB}= \alpha \\[12pt] \triangle{ACD}: \begin{cases} AM=MD \\ CN=ND \end{cases} \Rightarrow MN \text{ средна отс. } \Rightarrow AC=2\cdot{MN}= 18[cm] \\[12pt] \triangle{ABD}: \quad BM \text{ медиана } \Rightarrow BM^{2}= \dfrac{2AB^{2} +2BD^{2} -AD^{2}}{4}= \dfrac{2x^{2}+2BD^{2} -100}{4} \\[12pt] \triangle{BCD}: \quad BN \text{ медиана } \Rightarrow BN^{2}= \dfrac{2BC^{2} +2BD^{2} -CD^{2}}{4}= \dfrac{200+2BD^{2} -x^{2}}{4} \\[12pt] \triangle{MNB}: \quad \angle{MNB}=90^{\circ} \Rightarrow BM^{2}= MN^{2} +BN^{2} \\[6pt] \hspace{5em} \dfrac{2x^{2}+2BD^{2} -100}{4}= 81 +\dfrac{200+2BD^{2} -x^{2}}{4} \\[6pt] \hspace{5em} 2x^{2} \cancel{+2BD^{2}} -100= 324 +200\cancel{+2BD^{2}} -x^{2} \\[6pt] \hspace{5em} 3x^{2}= 624 \Leftrightarrow x^{2}= 208 \Rightarrow x= AB= CD= 4\sqrt{13}[cm] \\[12pt] \triangle{ABC}: \quad \text{Кос. т-ма } \rightarrow AC^{2}= AB^{2} +BC^{2} -2\cdot{}AB\cdot{}BC\cdot{}\cos{(180^{\circ}-\alpha)} \\[6pt] \hspace{5em} 324= 208 +100 +2\cdot{}4\sqrt{13}\cdot{}10\cdot{}\cos{\alpha} \\[6pt] \hspace{5em} \cos{\alpha}= \dfrac{324 -308}{80\sqrt{13}}= \dfrac{16}{80\sqrt{13}}= \dfrac{1}{5\sqrt{13}} \\[6pt] \sin{\alpha}=\sqrt{1-\cos^{2}{\alpha}}= \sqrt{1-\dfrac{1}{25\cdot{}13}}= \sqrt{\dfrac{324}{325}}= \dfrac{18}{5\sqrt{13}} \\[12pt] S_{ABCD}= AB\cdot{BC}\cdot{\sin{\alpha}}= 4\sqrt{13}\cdot{10}\cdot{\dfrac{18}{5\sqrt{13}}}= 144[cm^{2}]$

[Гост]

Нищо не разбирам...Какво е това уравнение за медиана?Ние не сме го учили.Също и тези тригонометрични формули?Аз съм в 9 клас.

[S.B.]

Нищо не разбирам...Какво е това уравнение за медиана?Ние не сме го учили.Също и тези тригонометрични формули?Аз съм в 9 клас.

Това е едно добро решение , в което колегата е използвал Косинусова теорема ,която е едно доста мощно средство за решаване на геометрични задачи.Сега не го разбираш, но в 10 клас ще го разбереш и със сигурност с удоволствие ще я използваш.

[S.B.]

В успоредника ABCD точките M и N са среди съответно на страните AD и CD, като MN = 9 см., а [tex]\angle[/tex] MNB = 90[tex]^\circ[/tex].
Ако BC = 10 см. да се намери лицето на успоредника ABCD.

Без заглавие - 2026-02-05T174803.720.png (258.99 KiB) Прегледано 48 пъти

Ето едно решение,което е съобразено с това което сте изучавали в училище
$AD = BC = 10$ [tex]\Rightarrow AM = MD = 5[/tex]
Продължавам $MN$ и $BC$ до пресичането им в т.$P$
[tex]\triangle MND \cong \triangle NCP[/tex]
$DN = NC$ (по условие)
[tex]\angle DNM = \angle PNC[/tex] (противоположни)
[tex]\angle MDN = \angle NCP[/tex] (кръстни)
[tex]\Rightarrow NP = MN = 9 , PC = MD = 5[/tex]
[tex]\triangle MBP[/tex] е равнобедрен ,защото $BN$ се явява и височина и медиана към основата $MP$ на триъгълника.

$BP = BC + CP = 10 + 5 = 15$
За [tex]\triangle BNP[/tex] прилагам Питагорова теорема ,която вярвам,че вече сте учили в училище:
[tex]BN^{2 } = BP^{2 } - PN^{2 } \Leftrightarrow BN^{2 } = 15^{2 } - 9^{2 } = 144 \Rightarrow BN = 12[/tex]
[tex]S_{MPB } = \frac{BN.MP}{2} \Leftrightarrow S_{MPB } = \frac{12.18}{2} = 108[/tex]
[tex]\triangle MND \cong \triangle NCP \Rightarrow S_{MND } = S_{NCP } \Rightarrow S_{BCDM } = S_{MBP } = 108[/tex]
[tex]\begin{cases} S_{BCDM }= 108 \\ S_{BCDM } = \frac{DM + BC}{2} .h \end{cases} \Rightarrow \frac{DM + BC}{2}.h = 108 \Leftrightarrow \frac{5 + 10}{2}.h = 108 \Rightarrow h = 14,4 sm[/tex]

[tex]S_{ABCD } = BC.h = 10.14,4 = 144[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 144 sm^{2 } $$

[Darina73]

[tex]S_{ABCD }[/tex] = S =?
След като рзгледах чертежа и чудесното решението на S.B. ми хрумна още една идея .
S.B. е показла как да намерим BN .
BN =12 см.

Медиана в триъгълник го разделя на два равнолицеви тр-ка .
[tex]S_{ABM }= \frac{ S_{ABD } }{2}= \frac{ S_{ABCD } }{4} = \frac{S}{4}[/tex]

[tex]S_{BCN }= \frac{ S_{BCD } }{2} = \frac{ S_{ABCD } }{4} = \frac{S}{4}[/tex]

[tex]S_{MND }= \frac{ S_{MCD } }{2} =\frac{ S_{ACD } }{4}= \frac{ S_{ABCD } }{8} =\frac{S}{8}[/tex]

[tex]S_{MBN } = S_{ABCD } -( S_{ABM } +S_{BCN } +S_{MND } )[/tex]

[tex]\frac{9.12}{2} =S -( \frac{S}{4} +\frac{S}{4} +\frac{S}{8} )[/tex]

54= S- [tex]\frac{5S}{8}[/tex] ; 54=[tex]\frac{3S}{8}[/tex]

S=[tex]S_{ABCD } = 144 см.^{2 }[/tex]

[Гост]

Благодаря и на тримата!