Метрични зависимости за правоъгълен триъгълник

[Гост]

Може ли помощ за тази задача?

[Davids]

image.png (39.98 KiB) Прегледано 207 пъти

Прилагам малко украсен чертеж, сега ще го караме стъпка по стъпка.
Първо, по питагорова теорема директно AB = 10.
Нека M е средата на АВ. Тогава CM е медиана към хипотенузата, т.е. е равна на половината хипотенуза, т.е. СМ = 5.
Отделно нека медицентърът е точка G, която лежи на CM като медиана, така че CG:GM = 2:1, сиреч $CG = \frac{10}{3}$.
Нека сега разгледаме вписаната окръжност с център О. Знаем, че лицето на триъгълник е равно на полупериметъра по радиуса на вписаната окръжност. Тук лицето лесно го намираме, че е 24, полупериметъра е 12, значи $r = 2$.
Нека $OH \bot BC$, т.е. OH е радиус на вписаната окръжност и OH = 2. Понеже O е пресечната точка на ъглополовящите в триъгълника, то CO е ъглополовяща на $\angle ACB$ и $\angle OCB = 45^\circ$, сиреч OH = HC = 2 и по питагорова теорема $CO = 2\sqrt{2}$.
Нека сега означим $\angle BAC = \alpha$, като по дефиниция имаме директно $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{4}{5}$. Остана да направим ключовото наблюдение, отново понеже CO е ъглополовяща на правия ъгъл, че $\angle GCO = 45^\circ -\alpha$, т.е. $\cos\angle GCO = \cos\left(45^\circ -\alpha\right) = \cos45^\circ\cos\alpha + \sin45^\circ\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{4}{5} + \frac{3}{5}\right) = \frac{7}{5\sqrt{2}}$

Сега остана да намерим търсеното разстояние $GO$ по косинусова теорема за $\triangle GOC$:

$GO^2 = \frac{100}{9} + 8 - 2\cdot\frac{10}{3}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{7}{5\sqrt{2}} = \dots = \frac{4}{9}$
$GO = \frac{2}{3}$

Ако не съм объркал сметките... идеята е важна

[S.B.]

Може ли помощ за тази задача?

В правоъгълен триъгълник с катети $6$ и $8$ да се намери разстоянието от медицентъра до центъра на вписаната окръжност.

Без заглавие - 2026-05-08T183206.520.png (287.84 KiB) Прегледано 108 пъти

И още един поглед върху задачата!

[tex]\begin{cases} AC = 6 \\ BC = 8\\ \angle C = 90 ^\circ \end{cases} \Rightarrow AB = 10[/tex]
$CM$ - медиана към хипотенузата [tex]\Rightarrow CM = AM = BM =5[/tex]
$G$ - медицентър [tex]\Rightarrow G \in CM , MG = \frac{5}{3}[/tex]
$O$ - център на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.[tex]OP \bot AB,OQ \bot BC , OT \bot AC ,OP = OQ = OT = r[/tex]
[tex]P_{ABC } = 2.AB + 2.r \Leftrightarrow 24 = 20 + 2r \Leftrightarrow 2r = 4[/tex]
$$\Rightarrow r = 2$$
Нека [tex]AP = x \Rightarrow AT = x ,TC = 6-x , TOQC[/tex] е квадрат (3 прави ъгъла и равни съседни страни)[tex]\Rightarrow TC = r[/tex]
[tex]\begin{cases} TC = r \\ TC = 6-x \\r=2\end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow 6 -x = 2, x = 4[/tex]
$$\Rightarrow AP = 4$$
[tex]\begin{cases} AM = 5 \\ AP = 4 \end{cases} \Rightarrow PM = 1[/tex]

Построявам права [tex]l \begin{cases} l Z G \\ l || AB \\l \cap OP = K\end{cases}[/tex]

Построявам права [tex]p \begin{cases}p Z G\\ p || OP \\p \cap AB = N\end{cases}[/tex]

$PNGK$ е правоъгълник.[tex]PN = GK = z \Rightarrow NM = 1 -z[/tex]
Ако [tex]OK = y \Rightarrow GN = KP = r-y \Leftrightarrow GN = KP = 2-y[/tex]
Нека [tex]\angle ABC = \beta \Rightarrow \sin \beta = \frac{3}{5} ,\cos \beta = \frac{4}{5}[/tex]
[tex]\angle AMC = 2 \beta[/tex] (външен ъгъл за равнобедрения [tex]\triangle MBC[/tex]
[tex]\sin 2 \beta = 2\sin \beta \cos \beta \Rightarrow \sin 2 \beta = \frac{24}{25} , \cos 2 \beta = \cos^{2 } \beta - \sin^{2 } \beta = \frac{7}{25}[/tex]

Разглеждам [tex]\triangle NMG[/tex], където [tex]MG = \frac{5}{3} , NM = 1-z , GN = 2 - y , \angle GMN = 2 \beta[/tex]
[tex]\frac{GN}{GM} = \sin 2 \beta \Leftrightarrow \frac{2 -y}{ \frac{5}{3} } = \frac{24}{25} \Leftrightarrow 2 - y = \frac{5}{3}. \frac{24}{25} \Leftrightarrow 2 - y = \frac{8}{5}[/tex]
$$\Rightarrow y = \frac{2}{5} $$
[tex]\frac{NM}{GM} \cos 2 \beta \Leftrightarrow \frac{1-z}{ \frac{5}{3} } = \frac{7}{25} \Leftrightarrow 1 - z = \frac{5}{3}. \frac{7}{25} \Leftrightarrow 1 - z = \frac{7}{15}[/tex]
$$\Rightarrow z = \frac{8}{15} $$

За правоъгълния [tex]\triangle KGO[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]OG^{2 } = OK^{2 } + GK^{2 } \Leftrightarrow OG^{2 } = z^{2 } + y^{2 } \Leftrightarrow OG^{2 } = ( \frac{8}{15} )^{2 } + ( \frac{2}{5}) ^{2 } \Leftrightarrow OG^{2 } = \frac{64}{225} + \frac{4}{25}= \frac{64 + 36}{225} = \frac{100}{225}[/tex]
[tex]OG = \sqrt{ \frac{100}{225} } = \frac{10}{15}[/tex]
$$\Rightarrow OG = \frac{2}{3} $$