Метрични зависимости за правоъгълен триъгълник

[Гост]

Може ли помощ за тази задача?

[Davids]

image.png (39.98 KiB) Прегледано 32 пъти

Прилагам малко украсен чертеж, сега ще го караме стъпка по стъпка.
Първо, по питагорова теорема директно AB = 10.
Нека M е средата на АВ. Тогава CM е медиана към хипотенузата, т.е. е равна на половината хипотенуза, т.е. СМ = 5.
Отделно нека медицентърът е точка G, която лежи на CM като медиана, така че CG:GM = 2:1, сиреч $CG = \frac{10}{3}$.
Нека сега разгледаме вписаната окръжност с център О. Знаем, че лицето на триъгълник е равно на полупериметъра по радиуса на вписаната окръжност. Тук лицето лесно го намираме, че е 24, полупериметъра е 12, значи $r = 2$.
Нека $OH \bot BC$, т.е. OH е радиус на вписаната окръжност и OH = 2. Понеже O е пресечната точка на ъглополовящите в триъгълника, то CO е ъглополовяща на $\angle ACB$ и $\angle OCB = 45^\circ$, сиреч OH = HC = 2 и по питагорова теорема $CO = 2\sqrt{2}$.
Нека сега означим $\angle BAC = \alpha$, като по дефиниция имаме директно $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{4}{5}$. Остана да направим ключовото наблюдение, отново понеже CO е ъглополовяща на правия ъгъл, че $\angle GCO = 45^\circ -\alpha$, т.е. $\cos\angle GCO = \cos\left(45^\circ -\alpha\right) = \cos45^\circ\cos\alpha + \sin45^\circ\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{4}{5} + \frac{3}{5}\right) = \frac{7}{5\sqrt{2}}$

Сега остана да намерим търсеното разстояние $GO$ по косинусова теорема за $\triangle GOC$:

$GO^2 = \frac{100}{9} + 8 - 2\cdot\frac{10}{3}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{7}{5\sqrt{2}} = \dots = \frac{4}{9}$
$GO = \frac{2}{3}$

Ако не съм объркал сметките... идеята е важна