Трапец и окръжност

[Гост]

Даден е трапецът $ABCD$ , в който [tex]AB || CD , AB = 24,AD = CD = 6 , \angle A + \angle B = 90 ^\circ[/tex]
Построена е окръжност,която минава през върховете $A$ и $D$, пресича основите $AB$ и $CD$ съответно в точки $P$ и $Q$ и се допира в т. $T$ до продължението на бедрото $BC$.
Да се намери радиуса на така построената окръжност.

[S.B.]

Даден е трапецът $ABCD$ , в който [tex]AB || CD , AB = 24,AD = CD = 6 , \angle A + \angle B = 90 ^\circ[/tex]
Построена е окръжност,която минава през върховете $A$ и $D$, пресича основите $AB$ и $CD$ съответно в точки $P$ и $Q$ и се допира в т. $T$ до продължението на бедрото $BC$.
Да се намери радиуса на така построената окръжност.

Без заглавие - 2026-06-13T110542.479.png (240.04 KiB) Прегледано 393 пъти

Продължавам бедрата $AD$ и $BC$ до пресичането им
[tex]AD \cap BC = M[/tex]
[tex]\angle A + \angle B = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle ABM[/tex] е правоъгълен.
Нека $DM = x$

[tex]\triangle ABM \approx \triangle CDM \Rightarrow \frac{CD}{AB} = \frac{DM}{AM} \Leftrightarrow \frac{6}{24} = \frac{x}{6 + x} \Leftrightarrow \frac{x}{6 + x} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4x = 6 + x \Leftrightarrow 3x = 6[/tex]
$$\Rightarrow x = 2 \Rightarrow DM = 2,AM = 8$$

[tex]AM.DM = MT^{2 } \Leftrightarrow 8.2 = MT^{2 } \Leftrightarrow MT^{2 }= 16[/tex]
$$\Rightarrow MT = 4$$
[tex]\triangle ATD[/tex] е вписан в окръжността [tex]\Rightarrow S_{ATD } = \frac{AD.DT.AT}{4R} \Leftrightarrow R = \frac{AD.DT.AT}{4 S_{ATD } }[/tex]
Лицето на триъгълника ще намеря чрез формулата на Херон,като за целта ще намеря дължините на страните $AD , DT $ и $AT$

$AD = 6$ (по условие)

За [tex]\triangle DTM[/tex] прилагам Питагорова теорема :
[tex]DT^{2 } = AM^{2 }+ MT^{2 } \Leftrightarrow DT^{2 } = 4 + 16 \Leftrightarrow DT^{2 } = 20[/tex]
$$\Rightarrow DT = 2 \sqrt{5} $$
За [tex]\triangle AMT[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AT^{2 }= AM^{2 } + MT^{2 } \Leftrightarrow AT^{2 } = 64 + 16 \Leftrightarrow AT^{2 } = 80[/tex]
$$\Rightarrow AT = 4 \sqrt{5} $$
[tex]p = \frac{AD + DT + AT}{2} \Leftrightarrow p = \frac{6 + 2 \sqrt{5}+ 4 \sqrt{5} }{2} \Leftrightarrow p = \frac{6( \sqrt{5} + 1) }{2}[/tex]
$$\Rightarrow p = 3( \sqrt{5}+1) $$
[tex]p-AD = 3( \sqrt{5} - 1) ; p - AT = ( 3 - \sqrt{5}) ; p - DT = ( \sqrt{5} +3)[/tex]
За [tex]\triangle ATD[/tex] прилагам формулата на Херон за лице на триъгълник:

[tex]S_{ATD } = \sqrt{3( \sqrt{5}+1).3( \sqrt{5}-1).(3- \sqrt{5}).(3+ \sqrt{5}) } = \sqrt{ 3^{2 } . 4^{2 } }[/tex]
$$\Rightarrow S_{ATD } = 12 $$
$$R = \frac{6.2 \sqrt{5}.4 \sqrt{5} }{4.12} \Rightarrow R = 5$$

Скрит текст: покажи

Дано няма изчислителни грешки! Идеята е ясна !

[Darina73]

Интересно е ,че центърът т.О може да се окаже вляво ,вън от трапеца .
Тогава окр-та ще пресече продължението на основите , но решението ми няма да се промени .
R=?
Както S.B. доказа [tex]\triangle[/tex]АВМ е правоъгълен и [tex]\triangle[/tex]ABM[tex]\approx \triangle[/tex]DCM (1 признак)
Лесно намираме DM=2 ,AM=8 и MT=4 .
Тук може да използваме правоъгълен трапец АОТМ

Скрит текст: покажи

[tex]\angle[/tex]ОТМ=90[tex]^\circ[/tex] според условието на задачата .

Нека перпендикуляр от т.О към отс.АМ я пресича в т.Е .
ЕОТМ е правоъгълник и [tex]\triangle[/tex]АОЕ е правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]АЕ^{2 } +ОЕ^{2 } =АО^{2 } ; (АМ-ОТ)^{2 } +МТ^{2 } =R^{2 } ; (8-R)^{2 } +4^{2 } =R^{2 } ; R= \frac{80}{16}= 5[/tex]

[S.B.]

Построяването на окръжността в чертежа се оказа по- трудно от решението на задачата.Центърът е вътре в трапеца.Но Geogebra не е изкуствен интелект и не чертае сама.Първо трябва да се реши построителната задача от мен,а после да се използва Geogebra.