СЕКУЩИ В ОКРЪЖНОСТ

[quentos]

В окръжност с радиус R е вписан равнобедрен триъгълник с основа 2b и височина h към нея. Да се изрази:
а) R чрез b и h
б) h чрез R в случай, че 2b=h

[Martin Nikovski]

1. а) Нека триъгълникът е [tex]ABC[/tex], [tex]CH[/tex] е височината, а [tex]O[/tex] е центърът на окръжността.
[tex]CH=h,\ AO=BO=CO=R,\ AH=BH=\frac{AB}{2 }=\frac{2b}{2 } =b[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AHO\ \left(\angle AHO=90^\circ \right)[/tex]:
[tex]\cyr{PT}:\ AO^2=AH^2+OH^2[/tex]
[tex]R^2=b^2+OH^2\ \Rightarrow\ OH^2=R^2-b^2\ \Rightarrow\ OH=\sqrt{R^2-b^2}[/tex]
[tex]OH=CH-CO=h-R[/tex]
[tex]\left. OH=\sqrt{R^2-b^2} \\ OH=h-R \right\}\ \Rightarrow\ \sqrt{R^2-b^2}=h-R[/tex]
[tex]\cancel{R^2}-b^2=h^2-2hR+\cancel{R^2}\ \Rightarrow\ R=\frac{h^2+b^2}{2h }[/tex]

1. б) От 1. а) имаме, че [tex]R=\frac{h^2+b^2}{2h }[/tex].
[tex]2b=h\ \Rightarrow\ b=\frac{h}{2 } \ \Rightarrow\ R=\frac{h^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}{2h }=\frac{h^2+\frac{h^2}{4}}{2h } =\frac{\frac{5h^2}{4}}{2h }=\frac{5}{ 8}h \ \Rightarrow\ h=\frac{8}{ 5}R[/tex]