Лесно полагане

[strangerforever]

[tex](x-2)^6 + (x-4)^6 = 64[/tex]

[ptj]

В цели числа ли трябва да се реши?

[strangerforever]

В цели числа ли трябва да се реши?

Да, отговорите са 2 и 4.

[ptj]

Елементарно Уотсън!
Квадратите на целите числа дават при деление на 4 остатък 0 или 1. От тук веднага следва, че единствената възможност е [tex](x-2)[/tex] и [tex](x-4)[/tex] да са четни ( [tex]64\equiv 0 \pmod 4[/tex] ). Но 6-тата степен на всяко четно различно от 0 е по-голяма или равна на 64, т.е. има само две възможности:

[tex]\begin{cases}
x-2=0\\
(x-4)^6=64
\end{cases}[/tex] или [tex]\begin{cases}
(x-2)^6=64\\
x-4=0
\end{cases}[/tex]

Окончателно решения са: [tex]x=2[/tex] и [tex]x=4[/tex].

[strangerforever]

Елементарно Уотсън!
Квадратите на целите числа дават при деление на 4 остатък 0 или 1. От тук веднага следва, че единствената възможност е [tex](x-2)[/tex] и [tex](x-4)[/tex] да са четни ( [tex]64\equiv 0 \pmod 4[/tex] ). Но 6-тата степен на всяко четно различно от 0 е по-голяма или равна на 64, т.е. има само две възможности:

[tex]\begin{cases}
x-2=0\\
(x-4)^6=64
\end{cases}[/tex] или [tex]\begin{cases}
(x-2)^6=64\\
x-4=0
\end{cases}[/tex]

Окончателно решения са: [tex]x=2[/tex] и [tex]x=4[/tex].

ОК, но ако нямахме отговори и не знаехме, че трябва да е цели числа?

[ptj]

Даденото уравнение е еквивалентно на:
[tex]x^6-18 x^5+150 x^4-720 x^3+2040 x^2-3168 x+2048 =0[/tex].

След като знаем, че 2 и 4 са корени можем да отделим множители (x-2) и (x-4) от лявата част. Останалия многочлен е от 4-та степен и има аналитични методи за неговото решаване. Аз ползвах http://www.wolframalpha.com за да разбера кои са те ( и 4-те са комплексни).

[ptj]

[tex](x-2)^6 + (x-4)^6 = 64[/tex]

Може и използвайки формулите за съкратено умножение...

[strangerforever]

[tex](x-2)^6 + (x-4)^6 = 64[/tex]

Може и използвайки формулите за съкратено умножение...

А, ето това ми беше основният въпрос. Покажи ми как с помощта им, това съм забравил.

[ptj]

Измъкнах се:

[tex]a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2-ab-bc-ca) + 3abc[/tex]

[tex]0=(x-2)^6 + (x-4)^6 - 2^6=[/tex]
[tex]=\bigg( (x-2)^2+(x-4)^2-2^2 \bigg) \bigg((x-2)^4+(x-4)^4+(-2^2)^2-(x-2)^2.(x-4)^2-(x-2)^2(-2^2)-(x-4)^2(-2^2) \bigg)+3(x-2)^2(x-4)^2(-2^2)[/tex]

Трика сега е да забележиш, че [tex](x-4)^2-2^2=(x-6)(x-2)[/tex] и [tex](x-2)^2-2^2=x(x-4)[/tex],
т.е. всичко в дългото разписване се дели на [tex](x-2)(x-4)[/tex]. По-нататък се оправяй сам.

П.П. Отговора е:
[tex](x-2)(x-4)(x-3+i\sqrt{8-\sqrt{33}} )(x-3-i\sqrt{8-\sqrt{33}} )(x-3+i\sqrt{8+\sqrt{33}} )(x-3-i\sqrt{8+\sqrt{33}})=0[/tex]

[1089]

y=x-3

[ganka simeonova]

Когато имаме такова у-е, правим полагане на средното аритметично на двата израза.
[tex]y=\frac{x-2+x-4}{2 } =x-3[/tex]
После става лесно, като положим и разкрием скобите..

[ganka simeonova]

Измъкнах се:

[tex]a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2-ab-bc-ca) + 3abc[/tex]

[tex]0=(x-2)^6 + (x-4)^6 - 2^6=[/tex]
[tex]=\bigg( (x-2)^2+(x-4)^2-2^2 \bigg) \bigg((x-2)^4+(x-4)^4+(-2^2)^2-(x-2)^2.(x-4)^2-(x-2)^2(-2^2)-(x-4)^2(-2^2) \bigg)+3(x-2)^2(x-4)^2(-2^2)[/tex]

Трика сега е да забележиш, че [tex](x-4)^2-2^2=(x-6)(x-2)[/tex] и [tex](x-2)^2-2^2=x(x-4)[/tex],
т.е. всичко в дългото разписване се дели на [tex](x-2)(x-4)[/tex]. По-нататък се оправяй сам.

П.П. Отговора е:
[tex](x-2)(x-4)(x-3+i\sqrt{8-\sqrt{33}} )(x-3-i\sqrt{8-\sqrt{33}} )(x-3+i\sqrt{8+\sqrt{33}} )(x-3-i\sqrt{8+\sqrt{33}})=0[/tex]

ptj, хайде да бъдем полезни и да не си късаме ризките пак. 9 клас. Какви комплексни числа те гонят?

[ptj]

Когато имаме такова у-е, правим полагане на средното аритметично на двата израза.
[tex]y=\frac{x-2+x-4}{2 } =x-3[/tex]
После става лесно, като положим и разкрием скобите..

Наистина се унищожават нечетните степени, но в последствие се получава уравнение от 3-та степен отностно [tex]y^2[/tex]. Ако липсва опит за да се видят веднага 2-те решения обикновен 9-класник трудно ще го реши. Колкото до олимпийците, те знаят и комплексни числа на тази възраст.

П.П. Пиши своите решения, без да обсъждаш моите. Като си много добра, опитай да решиш задачата, озаглавена от мен "Китай- 1983".

[ganka simeonova]

Какви ти олимпийци в 9- класна тема?
Аз по начало не съм добра; вписвам се само в 9 и 10 клас. Нали съм прост даскал:)
Но, мога и да се потрудя! Ако успея!

[ptj]

Ако в 9 клас някой може да решава такива задачи, той може да прескочи останалите години и да кандидатства директно във ВУЗ с математика.

[ganka simeonova]

Ако в 9 клас някой може да решава такива задачи, той може да прескочи останалите години и да кандидатства директно във ВУЗ с математика.

Дрън, та пляс!

[strangerforever]

Аз отдавна я разбрах задачата и проблемът ми беше точно, че след полагането и разкриването не можах да видя двете решения или по-скоро не можах да видя, че те са ЕДИНСТВЕНИТЕ решения на задачата (не можах да го докажа) Иначе го разбрах с комплексните числа какво иска да каже, мисълта ми беше дали няма да може да се измисли нещо от формулите за съкратено умножение, за да не разкривам скобите след полагането "хамалската", иначе полагането е ясно. Все пак благодаря, разбрах я задачата ; p

[b1ck0]

[tex](x-2)^6 + (x-4)^6 = 64[/tex]

нека: [tex](x - 3) = a[/tex] ,тогава:

[tex]\left( a+1 \right) ^{6}+ \left( a-1 \right) ^{6}=64[/tex]

[tex]2\,{a}^{6}+30\,{a}^{4}+30\,{a}^{2}+2=64[/tex]

[tex]2\,{a}^{6}+30\,{a}^{4}+30\,{a}^{2}-62=0[/tex]

[tex]2\, \left( {a}^{6}+15\,{a}^{4}+15\,a^{2}-31 \right) =0[/tex]

[tex]2\, \left( {a}^{6}+15\,{a}^{4}+15\,a^{2}-31 +a^4-a^4 +31a^2 - 31a^2\right) =0[/tex]

[tex]2\, \left( {a}^{6}+16\,{a}^{4}+31a^2 -31-a^4+15a^2 -31a^2\right) =0[/tex]

[tex]2\, \left( a^2 \left({a}^{4}+16\,{a}^{2}+31 \right)- \left(a^4 +16\,a^{2}+31\right) \right) =0[/tex]

[tex]2\, \left( a-1 \right) \left( a+1 \right) \left( {a}^{4}+16\,{a}^{2}+31 \right) =0[/tex]

[someone]

Ето едно хубаво решение с две полагания, достъпно за всеки нормален деветокласник:
Полагаме [tex]y = x - 3[/tex]
Уравнението придобива вида [tex](y - 1) ^{6 } + { (y + 1) }^{ 6 }= 64[/tex]
Преобразуваме в [tex][ { (y - 1) ^ { 2 } } ] ^ { 3 } + [ { (y + 1)^{ 2 } } ] ^{ 3 } = 64[/tex] равносилно с [tex]( { y^{ 2 } - 2y + 1 } ) ^{ 3 } + ( { y ^{ 2 } + 2y + 1 } ) ^{ 3 } = 64[/tex]
Полагаме [tex]t =y^{ 2 }+ 1 = (x - 3)^{ 2 } + 1= x^{ 2 } - 6x + 10[/tex]
Уравнението придобива вида [tex](t - 2y) ^ { 3 } + (t + 2y) ^ { 3 } = 64[/tex] равносилно с [tex]t ( t ^ { 2 } + 12 y ^ { 2 } ) = 32[/tex]
Заместваме [tex]y ^ { 2 }= t - 1[/tex] и получаваме уравнението [tex]t ^ { 3 } + 12 t ^ { 2 } - 12t - 32 = 0[/tex] което след разлагане чрез схемата на Хорнер придобива вида [tex](t - 2) ( t ^ { 2 } + 14t + 16 ) = 0[/tex]
Оттук получаваме корен [tex]t_{1} = 2[/tex], тоест [tex]x ^ { 2 } - 6x + 10 = 2[/tex] което има корени [tex]x_ { 1} = 2[/tex] и [tex]x_ { 2 } = 4[/tex]
Квадратното уравнение [tex]t ^ { 2 } + 14t + 16 = 0[/tex] има корени [tex]t _ { 2 } = - 7 +\sqrt{33}[/tex] и [tex]t_{ 3 } = - 7 - \sqrt { 33 }[/tex] които водят до уравненията [tex]x ^ 2 - 6x + 10 = - 7 - \sqrt { 33 }[/tex] и [tex]x ^ { 2 } - 6x + 10 = - 7 + \sqrt { 33 }[/tex] които нямат реални корени
Окончателно нашето уравнение има само два корена [tex]x_ { 1 } = 2[/tex] и [tex]x_{2} = 4[/tex]

[b1ck0]

Ето едно хубаво решение с две полагания, достъпно за всеки нормален деветокласник:
Полагаме [tex]y = x - 3[/tex]
Уравнението придобива вида [tex](y - 1) ^{6 } + { (y + 1) }^{ 6 }= 64[/tex]
Преобразуваме в [tex][ { (y - 1) ^ { 2 } } ] ^ { 3 } + [ { (y + 1)^{ 2 } } ] ^{ 3 } = 64[/tex] равносилно с [tex]( { y^{ 2 } - 2y + 1 } ) ^{ 3 } + ( { y ^{ 2 } + 2y + 1 } ) ^{ 3 } = 64[/tex]
Полагаме [tex]t =y^{ 2 }+ 1 = (x - 3)^{ 2 } + 1= x^{ 2 } - 6x + 10[/tex]
Уравнението придобива вида [tex](t - 2y) ^ { 3 } + (t + 2y) ^ { 3 } = 64[/tex] равносилно с [tex]t ( t ^ { 2 } + 12 y ^ { 2 } ) = 32[/tex]
Заместваме [tex]y ^ { 2 }= t - 1[/tex] и получаваме уравнението [tex]t ^ { 3 } + 12 t ^ { 2 } - 12t - 32 = 0[/tex] което след разлагане чрез схемата на Хорнер придобива вида [tex](t - 2) ( t ^ { 2 } + 14t + 16 ) = 0[/tex]
Оттук получаваме корен [tex]t_{1} = 2[/tex], тоест [tex]x ^ { 2 } - 6x + 10 = 2[/tex] което има корени [tex]x_ { 1} = 2[/tex] и [tex]x_ { 2 } = 4[/tex]
Квадратното уравнение [tex]t ^ { 2 } + 14t + 16 = 0[/tex] има корени [tex]t _ { 2 } = - 7 +\sqrt{33}[/tex] и [tex]t_{ 3 } = - 7 - \sqrt { 33 }[/tex] които водят до уравненията [tex]x ^ 2 - 6x + 10 = - 7 - \sqrt { 33 }[/tex] и [tex]x ^ { 2 } - 6x + 10 = - 7 + \sqrt { 33 }[/tex] които нямат реални корени
Окончателно нашето уравнение има само два корена [tex]x_ { 1 } = 2[/tex] и [tex]x_{2} = 4[/tex]

Тя сигурно и схема на Хорнер се учи в девети клас ...

[someone]

Ето едно хубаво решение с две полагания, достъпно за всеки нормален деветокласник:
Полагаме [tex]y = x - 3[/tex]
Уравнението придобива вида [tex](y - 1) ^{6 } + { (y + 1) }^{ 6 }= 64[/tex]
Преобразуваме в [tex][ { (y - 1) ^ { 2 } } ] ^ { 3 } + [ { (y + 1)^{ 2 } } ] ^{ 3 } = 64[/tex] равносилно с [tex]( { y^{ 2 } - 2y + 1 } ) ^{ 3 } + ( { y ^{ 2 } + 2y + 1 } ) ^{ 3 } = 64[/tex]
Полагаме [tex]t =y^{ 2 }+ 1 = (x - 3)^{ 2 } + 1= x^{ 2 } - 6x + 10[/tex]
Уравнението придобива вида [tex](t - 2y) ^ { 3 } + (t + 2y) ^ { 3 } = 64[/tex] равносилно с [tex]t ( t ^ { 2 } + 12 y ^ { 2 } ) = 32[/tex]
Заместваме [tex]y ^ { 2 }= t - 1[/tex] и получаваме уравнението [tex]t ^ { 3 } + 12 t ^ { 2 } - 12t - 32 = 0[/tex] което след разлагане чрез схемата на Хорнер придобива вида [tex](t - 2) ( t ^ { 2 } + 14t + 16 ) = 0[/tex]
Оттук получаваме корен [tex]t_{1} = 2[/tex], тоест [tex]x ^ { 2 } - 6x + 10 = 2[/tex] което има корени [tex]x_ { 1} = 2[/tex] и [tex]x_ { 2 } = 4[/tex]
Квадратното уравнение [tex]t ^ { 2 } + 14t + 16 = 0[/tex] има корени [tex]t _ { 2 } = - 7 +\sqrt{33}[/tex] и [tex]t_{ 3 } = - 7 - \sqrt { 33 }[/tex] които водят до уравненията [tex]x ^ 2 - 6x + 10 = - 7 - \sqrt { 33 }[/tex] и [tex]x ^ { 2 } - 6x + 10 = - 7 + \sqrt { 33 }[/tex] които нямат реални корени
Окончателно нашето уравнение има само два корена [tex]x_ { 1 } = 2[/tex] и [tex]x_{2} = 4[/tex]

Тя сигурно и схема на Хорнер се учи в девети клас ...

Ако това беше ирония - неуместна е, учи се схема на Хорнер в 9 клас, поне в профилираната подготовка, но това уравнение със сигурност не е включено в учебник за непрофилирана (уравнението го има точно в учебника по профилирана подготовка на Додунеков за 9 клас). Нали точно за това съм написал, че уравнението е достъпно за всеки нормален деветокласник (добре де, тук бих се съгласил за корекция - за всеки деветокласник, изучаващ профилирано математика)