Окръжност и синус

[skidrow]

Диаметърът CP на описаната около равнобедрения триъгълник ABC окръжност пресича основата АB в точка D. Ако CD=a i DP = b, синусът на ъгъл АCB e равен на?

[Anubis]

Означаваме [tex]\angle ABC = \angle BAC = \alpha \Rightarrow \angle ACD = \angle BCD = 90^\circ - \alpha[/tex].

[tex]\angle BAC = \angle BPC = \alpha, \, \angle ACP = \angle PAB = 90^\circ - \alpha[/tex] (равни вписани ъгли)

[tex]\triangle ADP \sim \triangle CDA \Rightarrow \frac{AD}{CD} = \frac{DP}{DA} \Leftrightarrow \frac{x}{a} = \frac{b}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt{ab}[/tex]

Тогава [tex]AB = 2x = 2 \sqrt{ab} \Rightarrow \frac{AB}{sin \angle ACB} = CP \Leftrightarrow sin \angle ACB = \frac{AB}{CP} = \frac{2 \sqrt{ab}}{a+b}[/tex].