уравнение с параметър

[gabriellka]

Здравейте,
имам проблем с тази задача и,ако някой може да ми помогне ще съм му много признателна.
Благодаря предварително.
Намерете всички стойности на реалния параметър а,за които уравнението
[tex]\frac{1+x}{ax-x^{2}} - \frac{1-x}{ax+x^{2}}[/tex]=[tex]\frac{(x+1)(x-6)}{x^{2}-a^{2}}[/tex]
има 2 корена,които са естествени числа.

[amsara]

Здравейте,
имам проблем с тази задача и,ако някой може да ми помогне ще съм му много признателна.
Благодаря предварително.
Намерете всички стойности на реалния параметър а,за които уравнението
[tex]\frac{1+x}{ax-x^{2}} - \frac{1-x}{ax+x^{2}}[/tex]=[tex]\frac{(x+1)(x-6)}{x^{2}-a^{2}}[/tex]
има 2 корена,които са естествени числа.

Далече съм малко от 9 клас, ама все пак ще се пробвам поне донякъде да я докарам тая задача и ще чакам поправки.
[tex]\frac{1+x}{ ax-x^2}- \frac{1-x}{ ax+x^2}=\frac{(x+1)(x-6)}{x^2-a^2 }[/tex]
[tex]\frac{1+x}{ x(a-x)}- \frac{1-x}{ x(a+x)}=\frac{(x+1)(6-x)}{(a-x)(a+x) }[/tex]
[tex]a \ne x, a \ne -x, x \ne 0[/tex]
[tex]NOK=x(a-x)(a+x)[/tex]
[tex](1+x)(a+x)-(1-x)(a-x)=x(x+10)(6-x)[/tex]
[tex]a+x+ax+x^2-a+x+ax-x^2=-x^3+5x^2+6x[/tex]
[tex]2x +2ax=-x^3+5x^2+6x[/tex]
[tex]x^3-5x^2-6x+2x+2ax=0[/tex]
[tex]x^3-5x^2-4x+2ax=0[/tex]
[tex]x^3-5x^2-2x(2-a)=0[/tex]
[tex]x[x^2-5x-2(2-a)]=0[/tex]
[tex]x=0[/tex] но не отговаря на зададеното в началото условие заради знаменателя
Не отговаря даже и на условието на самата задача, според което двата корена са естествени числа.
[tex]x^2-5x-2(2-a)=0[/tex]
Значи голямото мислене е върху това квадратно параметрично уравнение
Но не съм сигурна как да намеря интервалите за параметъра а, при които корените на квадратното уравнение хем да са цели числа, хем и положителни. Тоест естествени , де.Ще се радвам да разбера обаче . Естествено при условие, че написаното дотук е наред.

[amsara]

Без да ми се смеете на свободните съчинения, ще споделя какво си измислих по-нататък по задачата.
Независимо от стойността на параметъра като съберем двата корена на уравнението, получаваме 5.
Тогава възможностите те да бъдат естествени числа са само 2.
x=1,x=4 или x=2,x=3
Заместваме
x=1
=>1-5-4+2a=0
2a=8
a=4
x=4
16-20-4+2a=0
2a=8
a=4
a=x=4 това противоречи на първоначално зададения интервал

Остава
x=2
4-10-4+2a=0
2a=10
a=5
x=3
9-15-4+2a=0
2a=10
a=5
Тук а отговоря на зададения интервал
Проверяваме и дискриминантата
25+8(2-a)>0
-8a>-41
a<5,125
полученото а принадлежи на този интервал

=>a=5
Верни ли са подобни разсъждения или не

[baroveca]

За да естествени числа, Дискриминантата трябва да е точен квадрат. В този случай дискриминантата е 41-8а. Така търсим при кои стойности на параматъра а дискриманантата е точен квадрат и дали корените, които са получени при тези стойности на а отговаря на ДМ. Това мисля,че е достатъчно.

[amsara]

За да естествени числа, Дискриминантата трябва да е точен квадрат. В този случай дискриминантата е 41-8а. Така търсим при кои стойности на параматъра а дискриманантата е точен квадрат и дали корените, които са получени при тези стойности на а отговаря на ДМ. Това мисля,че е достатъчно.

Както казах вече, това така или иначе не съм го учила и сигурно греша.Но не мисля, че казаното от теб е достатъчно
Първо не ми стана ясно от написаното как изследваш дискриминантата да ти е точен квадрат.
Второ, точният квадрат, дори и доказан, не ти гарантира, че корените на уравнението са естествени числа.Ето и примерче за да не съм голословна
x^2-5x-2(2-a)=0
D=25+16-8a=41-8a
Нека а=-5
Уравнението е с дискриминанта точен квадрат, но корените му не са естествени числа, единият от тях е отрицателен.А иначе такава стойност на параметъра не противоречи на ДМ.

Наистина, би ми било интересно някой да обясни как стават нещата в тази задача.

[allier]

Amsara, много добре си я решила задачата - точно така бих я решил и аз. Особено като сборът на корените е 5 т.е. имаш само две възможности.

[amsara]

Алиер, благодаря ти! Радвам се, че разсъжданията ми са били верни.Но може ли да питам нещо?
Тук възможностите за двойка естествени корени бяха само 2 и номерът ми мина . Но какво би станало , ако възможностите бяха повече? Как тогава ще се определят стойностите на параметъра,при които двата корена ще са естествени?Очевидно е, че написаното от baroveca условие за дискриминанта точен корен не е достатъчно.

[allier]

Пак ще трябват някакви частични разсъждения. Например, за да са естествени корените, трябва [tex]x_{1}x_{2}[/tex] да е естествено, т.е. положително и цяло. Това дава сериозни ограничения за a (полу-цяло и поне 2,5), и вече от дискриминантата излиза, че [tex]41- 8a >0[/tex] и е точен квадрат на рационално число, т.е. [tex]a\le 5[/tex]. Оттук има краен брой случаи, които да се разгледат - 2,5 ;3 ;3,5 ;4 ;4,5.

В други задачи пък може да се наложи да се правят по-сложни разсъждения т.е. да се решават диофантови уравнения и т.н., но в лесните задачи от ограниченията може да се сведе до краен (и разумен) брой проверки.

[amsara]

Пак ще трябват някакви частични разсъждения. Например, за да са естествени корените, трябва [tex]x_{1}x_{2}[/tex] да е естествено, т.е. положително и цяло. Това дава сериозни ограничения за a (полу-цяло и поне 2,5), и вече от дискриминантата излиза, че [tex]41- 8a >0[/tex] и е точен квадрат на рационално число, т.е. [tex]a\le 5[/tex]. Оттук има краен брой случаи, които да се разгледат - 2,5 ;3 ;3,5 ;4 ;4,5.

В други задачи пък може да се наложи да се правят по-сложни разсъждения т.е. да се решават диофантови уравнения и т.н., но в лесните задачи от ограниченията може да се сведе до краен (и разумен) брой проверки.

Мерси още веднъж!

[strangerforever]

Изобщо не съм съгласен, че ако Д е точен квадрат, корените са цели. Ограниченията да са положителни идват от Виет, но ако c е дробно число, или ако има коефициент пред a, може Д е точен квадрат и все пак корените да не са цели числа. Разсъжденията и на мен ми харесват, но е важно да се уточни това. Мисълта ми е, че това, че гарантираме, че корените ще са рационални, не означава, че гарантираме, че ще са естествени. Трябва да ограничим и да са положителни чрез Виет, и да са цели числа.

[loving_math]

allier e уточнил всички необходими условия за това корените на квадратното уравнение да са естествени числа. С тях гарантира както че числата са цели, така и това, че са положителни. Къде откривате повод за несъгласие?

[allier]

Strangerforever е прав в общия случай - ако има коефициент пред [tex]x^2[/tex]. Но трябва да се разсъждава конкретно за примера, който има в дадена задача. По принцип най-генералното е да се сведе (както е в примера по горе) до уравнение от вида:

[tex]x^2+ax+b=0[/tex]. За да са корените естествени числа е необходимо a да е отрицателно цяло, по-малко от -1, а b да е естествено, и дискриминантата да е точен квадрат. Уравнение със старши коефициент 1, не може да има рационални корени със знаменател, различен от 1 т.е. всички корени са цели.