зад2-с прилагане на теоремите на Минелай и Чева

[popawili]

2.През точка P, лежаща на медианата на триъгълника ABC, са прекарани правите [tex]AA_{1}[/tex] и [tex]BB_{1}[/tex] (точките [tex]A_{1}[/tex] и [tex]B_{1}[/tex] лежат съответно на страните ВС и СА). Да се докаже, че [tex]A_{1}B_{1}||AB[/tex].

[Anubis]

Правите [tex]AA_{1}, \, BB_{1}, \, CM[/tex] се пресичат в една точка, тогава (от теоремата на Чева)

[tex]\frac{AM}{MB}.\frac{BA_{1}}{A_{1}C}.\frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1[/tex].

Но [tex]AM=MB \Rightarrow \frac{BA_{1}}{A_{1}C} = \frac{B_{1}A}{CB_{1}}[/tex]. От теоремата на Талес [tex]A_{1}B_{1} || AB[/tex].