НЯКОЛКО ЗАДАЧИ

[crystal]

1.Решете неравенствата:
a)[tex]x^2-4x+3>0[/tex]
b) [tex]x(2-x-x^2)>=0[/tex]

2. Да се определи видът на [tex]\Delta ABC[/tex] според ъглите и да се намери [tex]\angle ACB[/tex], ако: AB=[tex]\sqrt{21}[/tex]; BC=4 ; AC=5

3. Даден е трапец ABCD с основи AB=9 см и CD=4 см, бедрото AD=8 см и [tex]\angle BAD=60^\circ[/tex]. Да се намерят бедрото BC и лицето на трапеца.

4. Определете интервалите в които функцията y=f (x) расте и намалява и намерете най-голямата и най-малката стойност.
a) [tex]f(x)=-x^2+3[/tex]
b) [tex]f(x)=2x^2+x+1/8[/tex]

[Добромир Глухаров]

2.) Най-голямата страна е [tex]AC[/tex], но дори за нея [tex]AC^2<AB^2+BC^2\ (25<21+16),\ \Rightarrow[/tex] триъгълникът е остроъгълен.
От Косинусовата Теорема:
[tex]cos\angle ACB=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.AC.BC } =\frac{25+16-21}{2.5.4 }=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\angle ACB=60^\circ[/tex]

[Добромир Глухаров]

1.)
a.) [tex](x-1)(x-3)>0 \ \Rightarrow \ x\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )[/tex]
б.) [tex]x(x^2+x-2)\le 0 \ \Leftrightarrow \ x(x+2)(x-1)\le 0[/tex]
Разделяме числовата ос на интервалите:
[tex](-\infty ;-2],[-2;0],[0;1][/tex] и [tex][1;+\infty )[/tex]
За [tex]x=-1\in [-2;0][/tex] лявата част е положителна
[tex]\Rightarrow \ x\in (-\infty ;-2]\cup [0;1][/tex]

[Добромир Глухаров]

4.
a.) [tex]f(x)=-x^2+3[/tex]
Върхът на параболата е в [tex]x=0 \ \rightarrow \ V(0;3)[/tex]
за [tex]x<0\ f(x)[/tex] расте, а за [tex]x>0\ f(x)[/tex] намалява
НГС: [tex]f(0)=3[/tex]
[tex]f[/tex] намалява неограничено за [tex]x\ \rightarrow \ \pm \infty \ \Rightarrow[/tex] няма НМС.

б.) [tex]f(x)=2x^2+x+\frac{1}{8 }[/tex]
[tex]x_v=-\frac{b}{2a } =-\frac{1}{4 }[/tex]
за [tex]x<-\frac{1}{4 } \ f(x)[/tex] намалява, а за [tex]x>-\frac{1}{4 } \ f(x)[/tex] расте.
НМС: [tex]f(-\frac{1}{4 })=2.\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=0[/tex]
[tex]f[/tex] расте неограничено за [tex]x\ \rightarrow \ \pm \infty \ \Rightarrow[/tex] няма НГС.
А може и така:
[tex]f(x)=2(x+\frac{1}{4})^2\ge 0 \ \Rightarrow[/tex] НМС: [tex]f(-\frac{1}{4})=0[/tex]

[Добромир Глухаров]

3.)
Нека [tex]DD_1[/tex] и [tex]CC_1[/tex] са височини в трапеца [tex]ABCD[/tex]
[tex]DD_1=8.sin(60^\circ )=4\sqrt{3}\ AD_1=8.cos(60^\circ )=4[/tex]
[tex]BC_1=AB-AD_1-C_1D_1=9-4-CD=5-4=1[/tex]
[tex]BC^2=BC_1^2+CC_1^2=1^2+DD_1^2=1+(4\sqrt{3})^2=1+48=49[/tex]
[tex]BC=7[/tex]
[tex]S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2 } .DD_1=\frac{9+4}{2 } .4\sqrt{3}=26\sqrt{3}[/tex]