H е ортоцентър на триъгълника PCK, когато CH:HD=3:1

[jivko7]

В правоъгълния триъгълник ABC е построена височината CD, а P и K са среди на отсечките AD и BD. Да се докаже, че H е ортоцентър на триъгълника PCK тогава и само тогава когато CH:HD=3:1.

[vel.angelov]

Построй симетричната на D относно A(означаваме я с А1) ,а после симетричната на D относно B(нея означаваме с В1).Докажи че ▲А1КС и ▲В1PC са правоъгълни и използвай теорема на Талес ,като построиш права успоредна на А1С през P ,а после аналогично права успоредна на В1С през К.

[jivko7]

как да докажа че ▲A1KC и ▲B1PC са правоъгълни и после че успоредните прави минават през точката H

[vel.angelov]

Означаваме[tex]\angle DKC=\alpha \angle A_{1}CD=\gamma[/tex]
сега нека[tex]AD=a DB=b DC=h[/tex]
тогава е изпълнено [tex]ab=h^{2} => 2a\frac{b}{2 }=h^{2} => \frac{2a}{ h}=\frac{h}{\frac{b}{2 } }[/tex]
и от[tex]\Delta DKC[/tex] и [tex]\Delta ADC[/tex] които са правоъгълни и горния ред => те са подобни по втори признак[tex]=>\alpha =\gamma => \angle DA_{1}C=90^\circ -\alpha =>\angle ACK=90^\circ[/tex]
Аналогично и за другия триъгълник.Оттук построяваш [tex]PS(S\in CK) PS\bot CK => PS||AC; PS\cap CD=N[/tex]
Използвай Талес и докажи че точка N съвпада с H.