Вписана окръжност и правоъгълен триъгълник

[skidrow]

Здравейте! Може ли да ми дадете насоки към решението на следната задача:
"Триъгълник ABC, ъгъл ACB = 90°, точката О е център на вписаната окръжност. Ако са дадени АО = [tex]2\sqrt{10}, BO= 2\sqrt{5}[/tex], да се намерят:

а) r, a,b, c, ;
б) разстоянието м/у допирните точки на вписаната окръжност със страните.

Благодаря!

[Anubis]

а) Означаваме [tex]\angle BAC = \alpha, \, \angle ABC = 90^\circ - \alpha[/tex], тогава [tex]\angle CAO = \angle BAO = \frac{\alpha}{2}[/tex] и

[tex]\angle ABO = \angle CBO = 45^\circ - \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \angle AOC = 135^\circ[/tex].

По косинусовата теорема за страната [tex]AB[/tex] в [tex]\triangle AOB[/tex] намираме [tex]\fbox {AB = c = 10}[/tex].

[tex]sin {\frac{\alpha}{2}} = \frac{OP}{AO} \Leftrightarrow OP = AO sin {\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[tex]sin {\left ( 45^\circ - \frac{\alpha}{2} \right )} = \frac{OP}{BO} \Leftrightarrow OP = BO sin {\left ( 45^\circ - \frac{\alpha}{2} \right )}[/tex]

От тези двете стигаме до уравнението [tex]3 sin {\frac{\alpha}{2}} = cos {\frac{\alpha}{2}} \Leftrightarrow \tan {\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow sin {\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10}, \, cos {\frac{\alpha}{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}[/tex].

Понеже [tex]sin \alpha = 2 sin {\frac{\alpha}{2}} cos {\frac{\alpha}{2}}[/tex], то [tex]sin \alpha = \frac{3}{5}[/tex] и [tex]cos \alpha = \frac{4}{5}[/tex].

[tex]sin \alpha = \frac{BC}{AB} \Leftrightarrow \frac{BC}{10} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \fbox {BC = a = 6}[/tex]

По същия начин [tex]\fbox {AC = b = 8}[/tex]. Така [tex]r = \frac{a+b-c}{2} \Leftrightarrow \fbox {r = 2}[/tex].

б) [tex]\angle POR = \angle AOP + \angle AOR = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + 90^\circ - \frac{\alpha}{2} = 180^\circ - \alpha[/tex]

[tex]\angle POR + \angle PAR = 180^\circ \Leftrightarrow[/tex] около [tex]APOR[/tex] може да се опише окръжност

За така вписания четириъгълник прилагаме теоремата на Птоломей, получаваме

[tex]AO.PR = AP.OR + OP.AR \Leftrightarrow PR.2.\sqrt{10} = 18.2 + 2.18 \Leftrightarrow PR.2.\sqrt{10} = 72 \Leftrightarrow \fbox {PR = \frac{36}{\sqrt{10}}}[/tex]

Другите разстояния се намират аналогично.

[ganka simeonova]

Абсолютно излишна тригонометрия. От същия триъгълник може да се намери лицето и от там радиусът, който е височина.
После правим система
[tex]\frac{a+b-10}{ 2} =2[/tex]
[tex]a^2+b^2=100[/tex]

[skidrow]

Много благодаря!