Да се намери лицето на ромба ако DM:MK=13:7 и AK=17см.

[jivko7]

В ромба ABCD е построена височината DK(K\inBC), която пресича диагонала AC в точка М. Да се намери лицето на ромба ако DM:MK=13:7 и AK=17см.

[Евва]

Нека DM=13х , МК=7х
[tex]\triangle[/tex]KCM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]AMD ( 1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{KC}{AD}[/tex]=[tex]\frac{KM}{MD}[/tex] ; [tex]\frac{KC}{AD}[/tex]=[tex]\frac{7x}{13x}[/tex]=[tex]\frac{7}{13}[/tex] ,нека KC=7y ,AD=13y

BC||AD и [tex]\angle[/tex]DKC , [tex]\angle[/tex]KDA са кръстни ъгли [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]KDA=[tex]\angle[/tex]DKC=90[tex]^\circ[/tex]

([tex]\triangle[/tex]AKD-правоъгълен) [tex]KD^{2}[/tex]+[tex]AD^{2}[/tex]=[tex]AK^{2}[/tex] т.е. 400[tex]x^{2}[/tex]+169[tex]у^{2}[/tex]=289 (1)

([tex]\triangle[/tex]KCD-правоъгълен) [tex]KD^{2}[/tex]+[tex]KC^{2}[/tex]=[tex]CD^{2}[/tex] т.е. 400[tex]x^{2}[/tex]+49[tex]у^{2}[/tex]=169[tex]у^{2}[/tex] (2)

Скрит текст: покажи

От (1) вадим (2)

169[tex]у^{2}[/tex]-49[tex]у^{2}[/tex]=289-169[tex]у^{2}[/tex] ; у=1 см. ( заместваме в (2) ) 400[tex]x^{2}[/tex]=169-49 ; х=[tex]\sqrt{\frac{3}{10}}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{30}}{10}[/tex] см.

[tex]S_{ABCD }[/tex]=BC.DK=13y.20x=13.1.20.[tex]\frac{\sqrt{30}}{10}[/tex]=26[tex]\sqrt{30}[/tex] [tex]см.^{2}[/tex]