3 Задачи от правоъгълен триъгълен триъгълник

[ViperDaka]

1)Докажете,че лицето на правоъгълния триъгълник се изразява с формулата S=r(r+2R).
2)Докажете,че сборът от квадратите на трите медиани на правоъгълен триъгълник е 3/2.c² ,където c е хипотенузата
на триъгълника.
3)Радиусът на впис. в прав. триъгълник окръжност е r=5,а радиусът на външновписаната окръжност,което се допира до хипотенузата,е r(c) =42.
Намерете страните на триъгълника.

[ева]

1 зад. Нека a,b са катетите на правоъгълния тр-к,c-хипотенузата му.

S=[tex]\frac{ab}{2}[/tex]=[tex]\frac{c^{2}-c^{2}+2ab}{4}[/tex]=[tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab}{4}[/tex]=[tex]\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc)+(2ac+2bc-2c^{2})}{4}[/tex]=

([tex]\frac{a+b-c}{2})^{2}[/tex]+2.[tex]\frac{a+b-c}{2}[/tex].[tex]\frac{c}{2}[/tex]=[tex]r^{2}[/tex]+2rR=r(r+2R)

Скрит текст: покажи

Хрумна ми още една идея,но ще я споделя утре.

[S.B.]

Зад.2:[tex]\triangle[/tex]ABC,[tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex],AB = c , AC = b , BC = a;Ще докажем : [tex]m_{c }^{2}[/tex] + [tex]m_{a }^{2}[/tex] + [tex]m_{b }^{2}[/tex] = [tex]\frac{3}{2}[/tex][tex]c^{2}[/tex]
[tex]m_{c }^{2}[/tex] = [tex](\frac{c}{2})^{2}[/tex] = [tex]\frac{c^{2}}{4}[/tex] ; [tex]m_{a }^{2}[/tex] = [tex]b^{2}[/tex] + [tex](\frac{a}{2})^{2}[/tex] = [tex]b^{2}[/tex] + [tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex] ; [tex]m_{b }^{2}[/tex] = [tex]a^{2}[/tex] + [tex]\frac{b^{2}}{4}[/tex] ;
[tex]m_{a }^{2}[/tex] + [tex]m_{2 }^{2}[/tex] + [tex]m_{c }^{2}[/tex] = [tex]b^{2}[/tex] + [tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex] + [tex]a^{2}[/tex] + [tex]\frac{b^{2}}{4}[/tex] + [tex]\frac{c^{2}}{4}[/tex] = [tex]c^{2}[/tex] + 2.[tex]\frac{c^{2}}{4}[/tex] = [tex]c^{2}[/tex] + [tex]\frac{c^{2}}{2}[/tex] = [tex]\frac{3}{2}[/tex][tex]c^{2}[/tex]

[ева]

1зад.(2 начин) Нека a,b са катетите на правоъг.[tex]\triangle[/tex]АВС.Вписаната окр.се допира до АВ,ВС,АС съответно в т.[tex]Н_{1 }[/tex],т.[tex]Н_{2 }[/tex] и т.[tex]Н_{3 }[/tex].
[tex]О_{1 }[/tex] и [tex]О_{2 }[/tex] са центрове на описаната и вписаната окръжност.

[tex]S_{ABO_{2 } }[/tex]=[tex]\frac{2Rr}{2}[/tex]=rR ; [tex]S_{AO_{2 }H_{3 } }[/tex]=[tex]\frac{(b-r)r}{2}[/tex] ; [tex]S_{BH_{2 } O_{2 }}[/tex]=[tex]\frac{(a-r)r}{2}[/tex] ; S([tex]O_{2 }[/tex][tex]H_{2 }[/tex]C[tex]H_{3 }[/tex])=[tex]r^{2}[/tex] (Четириъгълникът е квадрат.)

[tex]S_{ABC }[/tex]=rR+[tex]\frac{(b-r)r}{2}[/tex]+[tex]\frac{(a-r)r}{2}[/tex]+[tex]r^{2}[/tex]=rR+[tex]r^{2}[/tex]+[tex]\frac{r}{2}[/tex][(a+b)-2r]

В правоъг.тр-к е изпълнено:a+b=2r+2R [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABC }[/tex]=rR+[tex]r^{2}[/tex]+[tex]\frac{r}{2}[/tex](2r+2R-2r)=[tex]r^{2}[/tex]+2rR=r(r+2R)