Пропорционални отсечки в триъгълник

[MasterYoda6]

бедрото на равнобедрение триъгълник е 30 см. Височината към основата му е разделена на 3 равни части и през точките на деление са прекарани прави от единия основен връх да се намерят отсечките на които тези прави делят бедрото.

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]АВС-равноб.( АС=ВС) Нека СН е височина към основата АВ ,точките [tex]M_{1 }[/tex],[tex]N_{1 }[/tex] лежат на отс.СН като C[tex]N_{1 }[/tex]=[tex]N_{1 }[/tex][tex]M_{1 }[/tex]=H[tex]M_{1 }[/tex]=h
През т.[tex]М_{1 }[/tex] построяваме права m||AB ,m пресича АС и ВС в точките [tex]М_{2 }[/tex],М .
През т.[tex]N_{1 }[/tex] построяваме права n ||AB ,n пресича АС , ВС и правата А[tex]М_{1 }[/tex] съответно в точките [tex]N_{2 }[/tex],N ,F .
Нека правите А[tex]М_{1 }[/tex] и A[tex]N_{1 }[/tex] пресичат ВС в т.Е и т.Т .
През т.С построяваме права с||AB ,нека с пресича A[tex]N_{1 }[/tex] в т. D .
__________________________________________________________________________________________________________________
ВЕ=? ТЕ=? СТ=?
Нека N[tex]N_{2 }[/tex]=2a ,N[tex]N_{2 }[/tex] е средна отс. в [tex]\triangle[/tex][tex]М_{2 }[/tex]МС [tex]\Rightarrow[/tex] М[tex]М_{2 }[/tex]=4а
М[tex]М_{2 }[/tex] е средна отс. в трапеца ABN[tex]N_{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AB=6a
Лесно намираме BM=MN=NC=10 см. ME=?
[tex]M_{1 }[/tex][tex]M_{2 }[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]AF[tex]N_{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] F[tex]N_{2 }[/tex]=2.2a ; FN+N[tex]N_{2 }[/tex]=4a ; FN=4a-2a=2a
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex][tex]M_{1 }[/tex]ME и [tex]\triangle[/tex]EFN
1.M[tex]M_{1 }[/tex]=FN=2a
2.[tex]\angle[/tex]M[tex]M_{1 }[/tex]E=[tex]\angle[/tex]EFN
3.[tex]\angle[/tex][tex]M_{1 }[/tex]ME=[tex]\angle[/tex]FNE [tex]\Rightarrow[/tex] по 2 признак [tex]\triangle[/tex][tex]M_{1 }[/tex]ME[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]EFN [tex]\Rightarrow[/tex] ME=NE
ME=MN-ME ; ME=[tex]\frac{10}{2}[/tex]=5 см. (1)
[tex]\triangle[/tex]AH[tex]N_{1 }[/tex][tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex][tex]N_{1 }[/tex]DC (1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{HN_{1 }}{CN_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{AH}{CD}[/tex] ; [tex]\frac{2h}{h}[/tex]=[tex]\frac{3a}{CD}[/tex] ; CD=[tex]\frac{3a}{2}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ABT[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]TDC ( 1 пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=[tex]\frac{BT}{CT}[/tex] ; [tex]\frac{6a}{\frac{3a}{2}}[/tex]=[tex]\frac{30-CT}{CT}[/tex] ;4CT=30-CT ; CT=6 см. (2)
________________________________________________________________________________________
ВЕ=ВМ+МЕ=10+5=15 см.
СТ=6 см.
ТЕ=ВС-ВЕ-СТ=30-15-6=9 см.