Задача от тема Менелай/Чева

[katal_latem]

Дадено: ▲ABC, A1 принадлежи на BC,B1 принадлежи на AC,и C1 принадлежи на AB, като G-медицентър, а Ga e медъцентър в ▲AC1B1, Gb в ▲C1A1B и Gc в A1B1C. Да се докаже, че AGa, BGb, CGc се пресичат в една точка. Много ще съм ви благодарна ако успеете да ми помогнете :]

[ptj]

Нещо съм се заблудил, по-късно ще помисля за решение.

[katal_latem]

оки

[ptj]

Въведи неопредлени коефициенти за [tex]\frac{AC_1}{C_1B }=k[/tex], [tex]\frac{BA_1}{A_1C }=l[/tex] и [tex]\frac{CB_1}{B_1A }=p[/tex]. След това намери в какво отношение правата [tex]AG_a[/tex] дели след пресичане дели [tex]BC[/tex] (използвай, че е колинеарна с [tex]\vec{AGa}=\frac{1}{2 }(\vec{AB_1}+\vec{AC_1})[/tex]). Аналогично за [tex]BG_b[/tex] спрямо [tex]CA[/tex] и [tex]CG_c[/tex] спрямо [tex]AB[/tex]. Накрая умножи получените съотношения...

П.П. Задачата излиза само когато [tex]AA_1[/tex], [tex]BB_1[/tex] и [tex]CC_1[/tex] се пресичат в една точка, което вероятно си пропуснал(a) да споменеш ([tex]klp=-1[/tex]).

[Mr.G{}{}Fy]

Би ли разписал само 1-то отношение.В смисъл как се получава.Иначе и аз си мислех,за същото нещо,но не се сетих как да изразя това отношение (въпреки,че ми изглежда супер елементарно).

[ptj]

[tex]\vec{AB_1}=\frac{1}{p+1 }\vec{AC}[/tex]

[tex]\vec{AC_1}=\frac{k}{k+1 }\vec{AB}[/tex]

[tex]\vec{AGa}=\frac{1}{2 }(\vec{AB_1}+\vec{AC_1})[/tex]

[tex]\vec{AA_1}=\frac{CA'}{CB}.\vec{AB}+ \frac{BA'}{BC}.\vec{AC} =
\left(\frac{CA'}{CB}.\frac{k+1}{k }\right) \vec{AC_1}+ \left(\frac{BA'}{-CB}.\frac{p+1}{1 } \right)\vec{AB_1}[/tex]

[tex]\vec{AGa}\parallel \vec{AA_1}[/tex] <=> [tex]\left(\frac{CA'}{CB}.\frac{k+1}{k } \right) : \left(\frac{BA'}{-CB}.\frac{p+1}{1 } \right)=1[/tex]<=>

[tex]\frac{CA'}{A'B }=\frac{k(p+1)}{k+1 }[/tex]

Аналогично получаваме [tex]\frac{BC'}{C'A }=\frac{p(l+1)}{p+1 }[/tex] и [tex]\frac{AB'}{B'C }=\frac{l(k+1)}{l+1 }[/tex].

T.e. [tex]\frac{CA'}{A'B }.\frac{AB'}{B'C }. \frac{BC'}{C'A }=klp[/tex]

П.П. С примове са означени пресечените точки на [tex]AG_a[/tex],[tex]BG_b[/tex],[tex]CG_c[/tex] съответно със страните [tex]BC[/tex], [tex]CA[/tex] и [tex]AB[/tex].

П.ПП. Подобна задача е доста тежка за един редови деветокласник. Даже и за повечето им учители.

[ptj]

[tex]\vec{AA_1}=\frac{CA'}{CB}.\vec{AB}+ \frac{BA'}{BC}.\vec{AC} =
\left(\frac{CA'}{CB}.\frac{k+1}{k }\right) \vec{AC_1}+ \left(\frac{BA'}{-CB}.\frac{p+1}{1 } \right)\vec{AB_1}[/tex]

Трябва да е :

[tex]\vec{AA'}=\frac{CA'}{CB}.\vec{AB}+ \frac{BA'}{BC}.\vec{AC} =
\left(\frac{CA'}{CB}.\frac{k+1}{k }\right) \vec{AC_1}+ \left(\frac{BA'}{-CB}.\frac{p+1}{1 } \right)\vec{AB_1}[/tex]