Докажете, че периметърът на един триъгълник е по-голям

[Mr.G{}{}Fy]

1.Даден е триъгълник[tex]ABC (AC>BC)[/tex] и т.[tex]M[/tex] върху страната [tex]BC[/tex].Правата [tex]AM[/tex] пресича външната ъглополовяща при върха [tex]C[/tex] в т.[tex]N[/tex].Докажете,че [tex]P_{ABN}>P_{ABC}[/tex]
2.Точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] лежат съответно на страните [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] на правоъгълника [tex]ABCD[/tex] така,че [tex]CM\bot BD[/tex] и [tex]AN\bot BD[/tex].Намерете [tex]\angle ACB[/tex],ако[tex]AMCN[/tex] е ромб.

[inveidar]

1. Нека [tex]B_{1}[/tex] е симетричната на [tex]B[/tex] относно външната ъглополовяща. Ясно е, че [tex]C\in AB_{1}[/tex] и [tex]AC+CB=AC+CB_{1}=AB_{1}[/tex], а [tex]AN+NB=AN+NB_{1}[/tex]. Сега всичко е ясно от неравенството на триъгълника, приложено за [tex]\Delta ANB_{1}[/tex].

[Mr.G{}{}Fy]

Браво.

[martosss]

некa [tex]O[/tex] е прес. т. на [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] и [tex]\angle BOC=\alp[/tex].
[tex]MN[/tex] и [tex]AC[/tex] се разполовяват взаимно([tex]AMCN[/tex] - ромб)
[tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] се разполовяват взаимно([tex]ABCD[/tex] е успоредник)
Откъдето [tex]AB[/tex], [tex]MN[/tex] и [tex]BD[/tex] се пресичат в средата на [tex]AC[/tex] - т. [tex]O[/tex].

[tex]MC\bot BO\Right \angle OCM=90^\circ -\alp[/tex].
▲[tex]AMC[/tex] - равнобедрен => [tex]\angle MAC=<ACM=90^\circ -\alp[/tex]
▲[tex]AOB[/tex] - равнобедрен => [tex]\angle ABO =<BAO=90^\circ -\alp[/tex]
=> [tex]\angle OBC=\alp[/tex]
▲[tex]BOC[/tex] - равнобедрен => [tex]\angle OBC=<OCB=\alp[/tex]
Получихме ▲ [tex]BOC[/tex] с равни ъгли по [tex]\alp[/tex] => [tex]\alp=<ACB=60^\circ[/tex].