Намерете дължината на ъглополовящата на ъгъла при основата

[mcopwe]

Moля за решението аз отговорите ги знам.
1:Намерете дължината на ъглополовящата на ъгъла при основата на равнобедрен триъгълник с бедро б и ъгъл 120 градуса.
2:В окръжност с радиус Р е вписан равнобедрен триъгълник с бедно Р.Намерете основата на триъгълника.

[Xixibg]

1.задача 1-ви начин.
Нека [tex]AL[/tex] е ъглополовяща.
[tex]AL^2=AC.AB-CL.BL[/tex] - формула за дължина на ъглополовящата.
[tex]CH\bot AB ; =>CH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}b[/tex] (Катет срещу ъгъл[tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник.)
[tex]AH=\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex](Питагорова теорема за [tex]\triangle AHC[/tex])
[tex]AB=2.AH=b\sqrt{3}[/tex]
[tex]\frac{LC}{AC}=\frac{LB}{AB}[/tex] Свойство на ъглополовящата.
[tex]=>LB=\sqrt{3}LC[/tex]
[tex]LB+LC=b ; =>LC=\frac{b(\sqrt{3}-1)}{2} ; LB=\frac{b(3-\sqrt{3})}{2}[/tex]
[tex]=>AL^2=b.b\sqrt{3}-\frac{b(\sqrt{3}-1)}{2}.\frac{b(3-\sqrt{3})}{2}=\frac{b^2(4\sqrt{3}-3\sqrt{3}-\sqrt{3}+3+3)}{4}=\frac{6b^2}{4}[/tex]
[tex]=>AL=\sqrt{\frac{6b^2}{4}}=\frac{b\sqrt{6}}{2}[/tex]

Ако не знаем формулата за ъглополовяща то:2-ри начин.
[tex]LN\bot AB ; LN\cap AC=M[/tex]
[tex]\triangle CLM[/tex] е равностранен [tex]=>CL=ML=CM ; =>AM=AC+CM[/tex]
[tex]MN=\frac{1}{2}AM[/tex] (Катет срещу ъгъл[tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник.)
[tex]LN=\frac{1}{2}LB[/tex] (Катет срещу ъгъл[tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник.)
[tex]AL^2=AN^2+LN^2=AN^2+\frac{1}{4}LB^2[/tex] (Питагорова теорема за [tex]\triangle ALN[/tex])
[tex]AN^2=AM^2-MN^2=\frac{3}{4}AM^2[/tex] (Питагорова теорема за [tex]\triangle AMN[/tex])
[tex]CH\bot AB ; =>CH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}b[/tex] (Катет срещу ъгъл[tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник.)
[tex]AH=\frac{b\sqrt{3}}{2}[/tex](Питагорова теорема за [tex]\triangle AHC[/tex])
[tex]AB=2.AH=b\sqrt{3}[/tex]
[tex]\frac{LC}{AC}=\frac{LB}{AB}[/tex] Свойство на ъглополовящата.
[tex]=>LB=\sqrt{3}LC[/tex]
[tex]LB+LC=b ; =>LC=\frac{b(\sqrt{3}-1)}{2} ; LB=\frac{b(3-\sqrt{3})}{2}[/tex]
[tex]AM=AC+CM=AC+CL=\frac{b(\sqrt{3}+1)}{2}[/tex]
[tex]=>AL^2=\frac{3}{4}AM^2+\frac{1}{4}LB^2=\frac{6b^2}{4}[/tex]
[tex]=>AL=\sqrt{\frac{6b^2}{4}}=\frac{b\sqrt{6}}{2}[/tex]

[Xixibg]

2.Нека е дадена [tex]k(O;R) ,\triangle ABC[/tex] е вписан в [tex]k[/tex] , като [tex]AC=BC=R[/tex]
[tex]\triangle AOC,\triangle BOC[/tex] са равностранни [tex]=>\triangle ABC[/tex] е равнобедрен с ъгъл [tex]120^\circ[/tex]
[tex]CH\bot AB ; =>CH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}b[/tex] (Катет срещу ъгъл[tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник.)
[tex]AH=\frac{R\sqrt{3}}{2}[/tex](Питагорова теорема за [tex]\triangle AHC[/tex])
[tex]AB=2.AH=R\sqrt{3}[/tex]

[mcopwe]

Ако може още две:
1:
Даден е успоредник АБЦД със страни А и Б и диагонали д1 и д2.Докажете ,че ако гама е ъгълът м/у диагоналите на успоредника то косинус от гама=|а^2+B^2|/d1*d2
2:
В трапец едната основа е два път по-голяма от другата.Дължините на бедрата са му 1 и 2 см ,а ъгълът м/у тях е 60 градуса.Намерете основите на трапеца.

[Xixibg]

2.Даден е трапец [tex]ABCD ; AD=1sm. ; BC=2sm. ; AB=2CD; AD\cap BC=M ;\angle AMB=60^\circ[/tex]
[tex]CD||AB ; CD=\frac{1}{2}AB ; =>CD[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle ABM[/tex]
[tex]=>AD=\frac{1}{2}AM ; =>AM=2sm. ; BC=\frac{1}{2}BM ; =>BM=4sm.[/tex]
За [tex]\triangle ABM[/tex] Косинусова теорема :[tex]=>AB^2=AM^2+BM^2-2AM.BM.cos60^\circ[/tex]
[tex]=>AB^2=4+16-16.\frac{1}[2}=12 ; =>AB=\sqrt{12}=2\sqrt{3}[/tex]
[tex]CD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}[/tex]
.................
Ако не знаеш Косинусова теорема , защото май се учи в 10-ти клас то ползвай това:
Разглеждаме [tex]\triangle CDM ; DH\bot CM[/tex].
[tex]\angle DMH=60^\circ ;\angle DHM=90^\circ ;=> \angle MDH=30^\circ[/tex]
[tex]=>MH=\frac{1}{2}DH=\frac{1}{2}sm.[/tex] (Катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник)
[tex]=>CH=CM-MH=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}sm.[/tex]
За [tex]\triangle DHM[/tex] Питагорова теорема :[tex]DH^2=DM^2-MH^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}[/tex]
За [tex]\triangle CHD[/tex] Питагорова теорема :[tex]CD^2=CH^2+DH^2=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=\frac{12}{4}=3[/tex]
[tex]=>CD=\sqrt{3}sm. ; =>AB=2CD=2\sqrt{3}sm.[/tex]

Ако не знаеш Питагорова теорема , защото май се учи в 9-ти клас вторият срок то ето доказателството и:
Нека е даден [tex]\triangle PQN ; \angle PQN=90^\circ ; QH_1\bot PN ; NQ=a ; PQ=b ; PN=c[/tex]
[tex]\triangle PH_1Q \approx \triangle PQN ; =>\frac{PH_1}{PQ}=\frac{PQ}{PN}=>PH_1=\frac{PQ^2}{PN}=\frac{b^2}{c}[/tex]
[tex]\triangle NH_1Q \approx \triangle PQN ; =>\frac{NH_1}{NQ}=\frac{NQ}{PN}=>NH_1=\frac{NQ^2}{PN}=\frac{a^2}{c}[/tex]
[tex]=>PH_1+NH_1=c=\frac{a^2+b^2}{c} ; =>a^2+b^2=c^2[/tex]
Равенство известно като теорема на Питагор и вярно за всеки правоъгълен триъгълник.