Теорема на Щайнер

[webravex]

Принципно ми трябва доказателство на една от теоремите на Щайнер, а именно тази:

В трапеца пресечната точка на диагоналите, средите на основите и пресечната точка на бедрата лежат на една права

Рових се из нета в продължение на часове, но не открих нищо. Попаднах на коментар във форума, че вече това доказателство съществува като коментар тук, но не успях да го намеря

Благодаря предварително за отделеното внимание.

[Xixibg]

Доказва се елементарно с подобни триъгълници.
Ако [tex]N[/tex] е средата на [tex]CD[/tex] , а [tex]O[/tex] е пресечната точка на диагоналите и [tex]NO\cap AB=M[/tex]то [tex]M[/tex] е среда на [tex]AB[/tex].
Ако [tex]AD\cap BC=P[/tex] то [tex]M,N,P[/tex] лежат на една права.

[webravex]

А как точно доказваш последното, където М, N и P лежат на една права? Ясно ми е за О,М,N, но не и за другото

[Xixibg]

[tex]\triangle CDP \approx \triangle ABP[/tex]
[tex]=>\triangle AMP \approx \triangle DNP ; =>M,N,P[/tex] лежат на 1-на права

[Гост]

Все още не разбирам как го доказа с две думи на кръст. Ще може ли по-подробно обяснение

[ptj]

[tex]PC:PA=PD:PB=1:k[/tex] (Талес)

[tex]\vec{PN}= \frac{1}{2} \vec{PC}+\frac{1}{2} \vec{PD}[/tex]

[tex]\vec{PM}= \frac{1}{2} \vec{PA}+\frac{1}{2} \vec{PB}=\frac{1}{2}( k.\vec{PC})+\frac{1}{2} (k.\vec{PD})=[/tex]

[tex]=k.(\frac{1}{2} \vec{PC}+\frac{1}{2} \vec{PD})=k.\vec{PN}[/tex]

Колинеарни вектори с общо начало принадлежат на една и съща права,
(*) т.е. точките [tex]M,N,P[/tex] лежат на една права .



Нещо повече: Tвърдението (*) е вярно точно когато [tex]АМ:MB=CN:ND[/tex] (, т.е. може и да не са среди).