Лицето на трапец по дадена средна отсечка и диагонали

[mcopwe]

Знам отговорите искам решенията.
1:Диагоналите на трапец са 3 и 5см ,а отсечката съединяваща средите на двете основи е 2см.Намерете лицето на трапеца.
2:Даден е ваностранен триъгълник АВС и произволна точка М от описаната около триъгълника окръжност.Докажете ,че МА=МС+ВМ
3:В триъгълник АВС медианите през върховете А и В са перпендикулярни.Докажете ,че 5АВ^2=BC^2+AC^2

[Xixibg]

1.Построяваш [tex]CB_1||BD ;B_1\in AB[/tex]
[tex]=>S_{ABCD}=S_{AB_1C}[/tex]
[tex]M\in AB_1 ; MA=MB_1 ; =>CM=2sm. ; AC=5sm. ; BD=B_1C=3sm.[/tex]
[tex]AB_1^2=2AC^2+2B_1C^2-4CM^2=50+18-16=52 ; =>AB_1=\sqrt{52}=2\sqrt{13}[/tex]
[tex]S_{AB_1C}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(4+\sqrt{13})(4-\sqrt{13})(-1+\sqrt{13})(1+\sqrt{13})}=\sqrt{3.12}=\sqrt{36}=6sm^2[/tex](Херонова формула)

[Xixibg]

3.Нека [tex]G[/tex] е медицентъра
[tex]AG=\frac{2}{3}m_a ; BG=\frac{2}{3}m_b ; AB=c ; AC=b ; BC=a[/tex]
[tex]m_a^2=\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2) ; m_b^2=\frac{1}{4}(2a^2+2c^2-b^2)[/tex]
[tex]AB^2=\frac{4}{9}(m_a^2+m_b^2)[/tex] (Питагорова теорема за [tex]\triangle ABG[/tex])
[tex]=>AB^2=\frac{4}{9}.\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2+2a^2+2c^2-b^2)=\frac{1}{9}(b^2+4c^2+a^2)[/tex]
[tex]=>9c^2=a^2+b^2+4c^2[/tex]
[tex]=>5c^2=a^2+b^2[/tex]

[Xixibg]

A на 2-ра виж условието , че нещо не е в ред.
Ако [tex]M\equiv A => MA=0 ; MB+MC>0[/tex] ????

[ganka simeonova]

2 зад) е известна, но коректното условие е следното:
Даден е равностранен триъгълник АВС. В/у дъгата СВ, несъдържаща т.А е взета т. М. Да се док, че АМ=СМ+ВМ.

Построй т.Р в/у АМ, така че МС=МР. Тогава триъгълник РСМ е равностранен и остава да докажеш еднаквост на АСР и ВСМ. От нея ще следва, че АР=ВМ=>АМ=АР+РМ=ВМ+СМ.

[mcopwe]

Благодаря.Ако може и още три.
1:Дължините на средните отсечки на четириъгълник са 10 и 8, а дължините на един от диагоналите му е 6см.Намерете лицето на триъгълника.
2:Намерете дължините на страните на равнобедрен трапец по дадени диагонал d и периметър 2р,ако е известно ,че в трапеца може да се пише окръжност.
3:Ъгълът при основата на равнобедрен триъгълник е алфа,а основата му е а.Намерете радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

[someone]

Eдно елегантно решение на втората задача от по-горните е да приложим теоремата на Птолемей за четириъгълника [tex]ABMC[/tex]: [tex]AB.MC + AC.BM = AM.BC \Leftrightarrow MC+BM=AM[/tex]