Уравнение \sqrt{x + 5} = x^2 - 5

[kocaka]

Уравнение

[tex]\sqrt{x + 5} = x^2 - 5[/tex]

[ganka simeonova]

Това е добре известна задача, която има два начина за решаване. Аз ще ти предложа този със система, защото видях, че последният ти пост е бил в/у системи.
Да положим:[tex]\sqrt{x+5} =t=>x+5=t^2=>x=t^2-5[/tex](1)

Тогава у-то ще добие вида [tex]t=x^2-5[/tex](2). От (1) и (2) образуваме система и изваждеме почленно двете у-я.

[tex]t-x=x^2-t^2=>t-x=(x-t)(x+t)=>(t-x)+(t-x)(x+t)=0=>(t-x)(1+x+t)=0[/tex]

[tex]t-x=0=>t=x=>\sqrt{x+5} =x[/tex]; [tex]x+t+1=0=>t=-1-x=>\sqrt{x+5} =-1-x[/tex]

Остава да решиш двете у-я и да видиш, кои от корените са "истински". Това или ще стане с проверка ( която е доста тромава, защото корените са ирационални), или чрез определяне на ДМ.

[strangerforever]

И все пак за протокола, 5 = a.

[ganka simeonova]

И все пак за протокола, 5 = a.

[kocaka]

Добре, а ще може ли цялостно решение , защото малко на края с решаването на уравненията и проверката не го схванах. Благодаря предварително

Edit: Може също ако не е проблем да напишеш и другия начин за решаване

[ganka simeonova]

1) ДМ: [tex]x^2-5\ge 0=>x\in (-\infty ; -\sqrt{5} ]\cup [\sqrt{5} ; +\infty )[/tex]
За 2) Положи а=5; повдигни на втора и разгледай полученото у-е като квадратно спрямо а. Неговада дискриминанта е "хубава", защото е точен квадрат.

[kocaka]

На мен тва ми е проблема не мога да различ много кое е второто !

[Xixibg]

[tex]\begin{tabular}{|l}x=t^2-5\\t=x^2-5\end{tabular}[/tex]

Eто това е системата уравнения , за която пише г-жа Симеонова.
Като извадиш от 1-вото, 2-рото получаваш:[tex](t-x)(1+t+x)=0[/tex]

Внасям и малка корекция в Дефиниционното множество ,която не влияе на решението:
ДМ:[tex]x\in[-5;-\sqrt{5}]\cup [ \sqrt{5}; \infty )[/tex]

[tex]=>1-vo :t-x=0 ; =>x=t ; =>\sqrt{x+5}=x[/tex]
[tex]=>x^2-x-5=0 ; x\in [ \sqrt{5}; \infty )[/tex]
[tex]=>x_1=\frac{1-\sqrt{21}}{2}\notin DM ; x_2=\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/tex]

[tex]2-ro :1+t+x=0 ; =>t=-1-x ; =>\sqrt{x+5}=-1-x[/tex]
[tex]x^2+x-4=0 ; x\in[-5;-\sqrt{5}][/tex]
[tex]x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2} ; x_2=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\notin DM[/tex]

[kocaka]

Добре, а ще може ли едно абсолютно цялостно решение , защото ми трябва спешно , а нещо не мога да я направя като хората?

[Xixibg]

Полагаме [tex]\sqrt{x+5}=t ; =>x=t^2-5 ; DM: x\ge -5 ; t\ge 0[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}x=t^2-5\\t=x^2-5\end{tabular}[/tex]
Eто това е системата уравнения , за която пише г-жа Симеонова.
Като извадиш от 1-вото, 2-рото получаваш:
[tex]x-t=t^2-x^2-5+5[/tex]
[tex]=>0=(t-x)(t+x)-(t-x)[/tex]
[tex]=>(t-x)(1+t+x)=0[/tex]

Внасям и малка корекция в Дефиниционното множество ,която не влияе на решението:
ДМ:[tex]x\in[-5;-\sqrt{5}]\cup [ \sqrt{5}; \infty )[/tex]

[tex]=>1-vo :t-x=0 ; =>x=t ; =>\sqrt{x+5}=x[/tex]
[tex]=>x^2-x-5=0 ; x\in [ \sqrt{5}; \infty )[/tex]
[tex]=>x_1=\frac{1-\sqrt{21}}{2}\notin DM ; x_2=\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/tex]

[tex]2-ro :1+t+x=0 ; =>t=-1-x ; =>\sqrt{x+5}=-1-x[/tex]
[tex]x^2+x-4=0 ; x\in[-5;-\sqrt{5}][/tex]
[tex]x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2} ; x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\notin DM[/tex]

Това е пълно решение!!