Подобни триъгълници

[elsinka_10]

Точката Р е средата на хипотенузата АВ на правоъгълния ▲АВС. Симетралата на АВ пресича катета АС в точката М и продължението на катета ВС в точката N. Намерете АВ, ако РМ=а и MN=b.

[Xixibg]

[tex]\triangle APM \approx \triangle PNB[/tex]
[tex]=>\frac{AP}{PN}=\frac{PM}{PB} ; =>\frac{\frac{AB}{2}}{a+b}=\frac{a}{\frac{AB}{2}}[/tex]
[tex]=>\frac{1}{4}AB^2=a(a+b) ; =>AB=2\sqrt{a(a+b)}[/tex]

[amsara]

[tex]NP=S_{AB}=>\angle NPB=90^\circ[/tex]
[tex]\angle CAB =\alpha => \angle CBA=90-\alpha; \angle PNB=\alpha[/tex]
[tex]\Delta APM \approx \Delta NPB => \frac{AP}{NP } = \frac{PM}{PB }[/tex]
[tex]AP=BP=x; MP=a; NP=a+b => \frac{x}{ a+b} =\frac{a}{x } <=> x^2=a(a+b) =>x=\sqrt{a(a+b)}[/tex]
[tex]AB=2x=2\sqrt{a(a+b)}[/tex]