С-ва на секущите на окръжност/задача.

[katal_latem]

Дадено: окръжност, AB=2r. През точка A е построена допирателна към окръжността, в/у кято е нанесен отсечка по-голяма от r до точка M. От точка M е построена допирателна, която пресича продължението на AB в точка P. Да се намерят страните на ▲APM, ако се знае, че периметърът му е 8r. Задачата е отсборника по геометрия на издателство интеграл- задача 12.33/94 стр.

[katal_latem]

Задачата е грешна. За жалост не знам как да я изтрия

[ganka simeonova]

Нямаш вина, грешна е в сборника. Аз вчера я гледах и само я гледах:) Освен това и отговорите са абсурдни.

[inveidar]

И кое и е грешното?

[inveidar]

Задачката си е напълно коректна. Ето ви и решението:

ch1.png (21.6 KiB) Прегледано 372 пъти

Нека [tex]\angle APM=\alpha[/tex]. Лесно изразяваме [tex]PT=y=r.\frac{cos\alpha }{sin\alpha }[/tex], [tex]BP=z=r.\frac{1-sin\alpha }{ sin\alpha }[/tex] и [tex]AM=MT=x=r.\frac{cos\alpha }{ 1-sin\alpha }[/tex]. Сега от условието [tex]P_{APM}=8r[/tex] получаваме равенството [tex]2.r.\frac{cos\alpha }{ 1-sin\alpha }+r.\frac{cos\alpha }{sin\alpha }+r.\frac{1-sin\alpha }{ sin\alpha }=6r[/tex], което преобразуваме до [tex]cos\alpha =\frac{(1-7sin\alpha ).(sin\alpha-1) }{ sin\alpha +1}[/tex]. Заместваме последното в основното тригонометрично тъждество [tex]sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1[/tex] и след полагането [tex]sin\alpha=t[/tex] и малко преобразувания получаваме [tex]t=0,t=1[/tex] или [tex]t=\frac{3}{5 }[/tex]. Тъй като първите две стойности са невъзможни, то остава [tex]t=\frac{3}{5 }[/tex]. Сега вече лесно намираме [tex]AM=x=2r,MP=x+y=\frac{10}{3 }r,AP=2r+z=\frac{8}{3 }r[/tex].

[ganka simeonova]

Сори, но задачата от Коларов е преди тригонометрия. Все още не е започната.

[inveidar]

СъжЕлявам, но задачата не е ГРЕШНА, както казваш в по-горното си мнение! А от кой материал е мен не ме интересува изобщо!

[ganka simeonova]

Отговорите очевидно са грешни, които са дадени:
(8/3)r; 2r; (1/3)r. Това принципно няма значение, но аз нещо се забатачих без тригонометрия:))
Това, че не те интересува е без значение.
Децата, когато решават определена задача от сборника, я решават със знанията за момента, които имат.

[inveidar]

Задачата се решава елементарно и без тригонометрия, като използваме питагоровата теорема за триъгълника OPT, откъдето получаваме равенството [tex]r^{2}+y^{2}=(r+z)^{2}[/tex]. От подобието на триъгълниците TBP и MOP пък получаваме пропорцията [tex]\frac{y}{z }=\frac{x}{r }[/tex], от която следва, че [tex]y=kz,x=kr[/tex]. Следите ли ми мисълта, г-жо Симеонова? Замествайки [tex]y=kz[/tex] в първото получено равенство, получаваме лесно [tex]z=\frac{2r}{k^{2}-1 }[/tex] и следователно [tex]y=\frac{2kr}{ k^{2}-1 }[/tex]. Най-накрая заместваме в равенството от условието
[tex]2x+2r+y+z=8r[/tex] с така получените изрази за x,y и z чрез к и r и получаваме
[tex]2kr+\frac{2kr}{ k^{2}-1 }+\frac{2r}{k^{2}-1 } =6r[/tex], откъдето лесно намираме [tex]k=2[/tex] или [tex]k=-1[/tex]. Отново последното е невъзможно, т.е остава [tex]k=2[/tex]. После е лесно.

[inveidar]

Това, че не те интересува е без значение.
Децата, когато решават определена задача от сборника, я решават със знанията за момента, които имат.

След като за пореден път се държиш некоректно, взе че ме заинтересува! Но това за теб сигурно също е без значение. Важното е да не си признаваш глуповатите изказвания! Не че има нещо лошо в това. Човешко е да се греши, нали?

[inveidar]

Ако не искате да използвате питагоровата теорема, то използвайте свойството на секущите и допирателната през точка Р и ще получите същото равенство.