4 геометрични задачи

[samanta10]

Здравейте!Не мога да реша няколко задачи.Знам теоремите,но не ми се получават отговорите.Ако може да ми обясните как се решават.

Задача 1/Дадено:трапец ABCD
AB= 8 cm
CD=1 cm
MN//AB
AM:MD=2:5
__________
MN=?

Отг:6 сm

Задача 2/Дадено:трапец ABCD
M\in AD N\in BC
AM= 7cm
DM=2 cm
BN=5,6 cm
CN=1,6 cm
Да се док, че:
MN//AB

Задача 3/Дадено:трапец ABCD
AB=7 cm
CD=3 cm
MN//AB
MN= 6 cm
__________
AM:MD=?

Отг:1:3

Задача 4/Дадено: /\ ABC
P\in AB
N\in BC
M\in AC
MN//AB
MP//BC
CM=1/3CA
S/\ ABC=S
__________

S/\ MNP=?

Отг: 2/9S

[ева]

1 зад. Нека правите AD ,BC се пресичат в т.О; АМ=2х,MD=5х, DO=у, MN=z
х=? у=? z=?
[tex]\triangle[/tex]DCO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MNO (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{DO}{MO}[/tex]=[tex]\frac{DC}{MN}[/tex] т.е. [tex]\frac{у}{у+5х}[/tex]=[tex]\frac{1}{z}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] z= [tex]\frac{у+5х}{у}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]MNO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABO (1признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{MO}{AO}[/tex]=[tex]\frac{MN}{AB}[/tex] т.е. [tex]\frac{5х+у}{7х+у}[/tex]=[tex]\frac{z}{8}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 8(5х+у)=z(7х+у) (2) [зам.(1) в (2)]

8(5х+у)=[tex]\frac{у+5х}{у}[/tex](7х+у) ... у=х Намереният у заместваме в (1),получаваме z=[tex]\frac{х+5х}{х}[/tex]=6
z=MN=6 см.

[ева]

4 зад. СМ=[tex]\frac{1}{3}[/tex]СА ,[tex]S_{ABC }[/tex]=S
[tex]S_{MNP }[/tex]=?
MN//PB и MP//NB [tex]\Rightarrow[/tex] PBNM е успоредник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{PBN }[/tex]=[tex]S_{MPN }[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]MNC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{S(MNC)}{S(ABC)}[/tex]=[tex]\frac{\frac{CA^{2}}{9}}{CA^{2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{9}[/tex] т.е. [tex]S_{MNC }[/tex]=[tex]\frac{S}{9}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]APM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{S_{APM }}{S_{ABC }}[/tex]=[tex]\frac{AM^{2}}{AC^{2}}[/tex]=[tex]\frac{\frac{4AC^{2}}{9}}{AC^{2}}[/tex]=[tex]\frac{4}{9}[/tex] т.е. [tex]S_{APM }[/tex]=[tex]\frac{4S}{9}[/tex] (3)

(идеята) [tex]S_{APM }[/tex]+[tex]S_{MPN }[/tex]+[tex]S_{PBN }[/tex]+[tex]S_{MNC }[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex] (ползваме (1),(2),(3) )

[tex]\frac{4S}{9}[/tex]+[tex]S_{MPN }[/tex]+[tex]S_{MPN }[/tex]+[tex]\frac{S}{9}[/tex]=S ...
[tex]S_{MPN }[/tex]=[tex]\frac{2}{9}[/tex]S

[ева]

2 зад. Нека правата AD пресича правата ВС в т.О,OD=х,ОС=у
ABCD е трапец [tex]\Rightarrow[/tex] AB//CD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DCO (1признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{х}{х+9}[/tex]=[tex]\frac{у}{у+7,2}[/tex]

ху+7,2х=ху+9у /.[tex]\frac{7}{9}[/tex]
5,6х=7у
7,2х-1,6х=9у-2у
ху+7,2х+2у+14,4=ху+1,6х+9у+14,4
х(у+7,2)+2(у+7,2)=х(у+1,6)+9(у+1,6)
(у+7,2)(х+2)=(у+1,6)(х+9) [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{х+2}{х+9}[/tex]=[tex]\frac{у+1,6}{у+7,2}[/tex] т.е.

[tex]\frac{MO}{AO}[/tex]=[tex]\frac{NO}{BO}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]MNO[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABO , тогава съответните [tex]\angle[/tex]МNО=[tex]\angle[/tex]АВО [tex]\Rightarrow[/tex]
MN//AB