Подобни триъгълници

[Жорката]

Здравейте! Имам затруднение със следните 3 задачи и ще съм много благодарен ако някой ми ги обясни . Благодаря предварително!

1. Права, минаваща през върха B на ▲ABC, пресича страната AC в точка D така, че [tex]\angle ADB = \angle ABC[/tex]. Докажете, че AB е средногеометрична на отсечките AD и AC.

2. Точките M, N и P лежат съответно върху страните AB, BC и CA на ▲ABC, така че [tex]\angle AMP = \angle BNM = \angle CPN[/tex]. Докажете, че ▲ABC ~ ▲PMN.

3. Докажете, че разстоянието от медицентъра до страна на триъгълник е три пъти по-малко от височината на триъгълника до тази страна.

[KOPMOPAH]

Първата задача: Триъгълниците ABD и ABC са подобни, защото имат два равни ъгъла (и очевидно трети ). От това следва съотношението на съответните елементи: [tex]\frac{AD}{ AB}=\frac{AB}{AC }[/tex], т.е [tex]AB^{2 } = AD.AC[/tex]

[KOPMOPAH]

...
2. Точките M, N и P лежат съответно върху страните AB, BC и CA на ▲ABC, така че [tex]\angle AMP = \angle BNM = \angle CPN[/tex]. Докажете, че ▲ABC ~ ▲PMN.
...

Ако положим [tex]\angle AMP = \angle BNM = \angle CPN=\varphi[/tex]
Тогава се получава: [tex]\angle PNC = 180^\circ-(\angle PCN+\varphi)[/tex]
[tex]180^\circ-(\angle PCN+\varphi)+\angle PNM+ \angle BNM=180^\circ[/tex], откъдето се получава [tex]\angle PNM=\angle PCN[/tex]. Аналогично се доказва и за равенството на другите ъгли и следва подобието на триъгълниците.

[KOPMOPAH]

...
3. Докажете, че разстоянието от медицентъра до страна на триъгълник е три пъти по-малко от височината на триъгълника до тази страна.

Като имаш предвид, че разстоянието е перпендикуляр, разгледай подобните триъгълници, образувани от медианата и височината през един връх и разстоянието от медицентъра до страната, която тази медиана разполовява. Получават се два подобни правоъгълни триъгълника със съотношение на страните 1:3. Допълнителна любопитна подробност - ако съединиш медицентъра с върховете - получават се три РАВНОЛИЦЕВИ (защо? ), но не подобни триъгълника.