Около правоъгълен триъгълник е описана окръжност

[SorSy]

Имам проблем със 2 задачи тук :
1: В окръжност с център O и диаметър AB = 2r е построен радиус OC перпендикулярен на AB и хорда AP , която минава през средата M на OC . Да се докаже ,че S (AOM) = 5/16 S ( ABP)
2 : Около правоъгълен триъгълник е описана окръжност и е построена допирателна към нея , минаваща през върха на правия ъгъл . Да се намерят катетите на триъгълника ,ако разстоянията от краищата на хипотенузата до допирателната са a и b .
Благодаря ви!

[ева]

1 зад.
[tex]\triangle[/tex]АОМ и [tex]\triangle[/tex]АВР са правоъгълни
1.[tex]\angle[/tex]ОАМ=[tex]\angle[/tex]ВАР
2.[tex]\angle[/tex]АОМ=[tex]\angle[/tex]АРВ=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]тр-те са подобни[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{S(AOM)}{S(ABP)}[/tex]=[tex]\frac{AM^{2}}{AB^{2}}[/tex]=[tex]\frac{AO^{2}+OM^{2}}{AB^{2}}[/tex]=[tex]\frac{\frac{R^{2}}{1}+\frac{R^{2}}{4}}{4R^{2}}[/tex]=[tex]\frac{\frac{5R^{2}}{4}}{4R^{2}}[/tex]=[tex]\frac{5}{16}[/tex]

[ева]

2 зад.
[tex]\triangle[/tex]АВС([tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex]),ОС[tex]\bot[/tex]d-допирателна към К(О;R) в т.С
т.[tex]А_{1 }[/tex] и т.[tex]В_{1 }[/tex] лежат на d,като А[tex]А_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]d и B[tex]B_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]d;A[tex]A_{1 }[/tex]=a,B[tex]B_{1 }[/tex]=в
АС=х=? ВС=у=?
В[tex]В_{1 }[/tex][tex]А_{1 }[/tex]А е правоъг.трапец;т.О-среда на АВ и ОС е успоредна на В[tex]В_{1 }[/tex] и на А[tex]А_{1 }[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]ОС е средна отс.в трапеца (§)
ОС=[tex]\frac{a+в}{2}[/tex] тогава АВ=2ОС=а+в[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\sqrt{x^{2}+у^{2}}[/tex]=а+в[tex]\Rightarrow[/tex][tex]x^{2}[/tex]+[tex]у^{2}[/tex]=[tex]а^{2}[/tex]+2ав+[tex]в^{2}[/tex] (1)
от (§)[tex]\Rightarrow[/tex]т.С е среда на АВ т.е.[tex]А_{1 }[/tex]С=[tex]В_{1 }[/tex]С т.е.[tex]\sqrt{x^{2}-а^{2}}[/tex]=[tex]\sqrt{у^{2}-в^{2}}[/tex]; [tex]x^{2}[/tex]-[tex]у^{2}[/tex]=[tex]а^{2}[/tex]-[tex]в^{2}[/tex] (2) (събираме (1) и (2) )
2[tex]x^{2}[/tex]=2[tex]а^{2}[/tex]+2ав;х=[tex]\sqrt{а^{2}+ав}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] у=[tex]\sqrt{в^{2}+ав}[/tex]
отг.[tex]\sqrt{а^{2}+ав}[/tex];[tex]\sqrt{в^{2}+ав}[/tex]