Доказателства на косинусова и синусова теорема

[Гост]

Може ли да ми докажете косинусова теорема за тъпоъгълен триъгълник, и синусова и косинусова за правоъгълен. Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

Косинусова теорема.png (8.98 KiB) Прегледано 1716 пъти

[tex]\Delta AC_1C[/tex] - правоъгълен:

[tex]CC_1=AC.sin\angle C_1AC=b.sin(180^\circ-\alpha)=b.sin\alpha[/tex]

[tex]AC_1=AC.cos\angle C_1AC=b.cos(180^\circ-\alpha)=b.(-cos\alpha)[/tex]

Питагорова теорема за [tex]\Delta BC_1C[/tex]:

[tex](BA+AC_1)^2+CC_1^2=BC^2[/tex]

[tex](c-bcos\alpha)^2+(bsin\alpha)^2=a^2[/tex]

[tex]c^2-2bccos\alpha+b^2cos^2\alpha+b^2sin^2\alpha=a^2[/tex]

[tex]c^2+b^2(sin^2\alpha+cos^2\alpha)-2bccos\alpha=a^2[/tex]

[tex]a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha[/tex]

[Добромир Глухаров]

За Синусова теорема виж ТУК.

[strangerforever]

Може ли да ми докажете косинусова теорема за тъпоъгълен триъгълник, и синусова и косинусова за правоъгълен. Благодаря предварително!

За всеки триъгълник:

Нека [tex]AC = \vec{a}, BC = \vec{b}, AB = \vec{c}[/tex]

Тогава знаем, че [tex]\vec{a} - \vec{b} = \vec{c} \Leftrightarrow |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|cos \gamma = |\vec{c}|^2[/tex]