комбинаторика

[Гост]

Бихте ли ми обяснили подробно следната задача:
По колко начина могат да се разпределят:
а)22 човека в 2 отбора по 11 души
б)12 човека в 4 отбора по 3 души?

Благодаря!

[s.karakoleva]

Първата е по-лесна: Избират се 11 човека от 22-ма по [tex]C_{22}^{11}[/tex] начина. Останалите 11 остават за втория отбор, т.е. има един единствен начин от останалите 11 да се изберат 11 за втория отбор.

Втората: Нека отборите са с номера: 1,2,3,4. Представи си, че ти ги разпределяш, като имаш две кутии: в едната номерата на състезателите, в другата номерата на отборите. След като избереш номерата на състезателите, представи си, че ги поствяш в 4 отделни кутии (отбори).
И така: От 12 човека избираме 3-ма за един от четирите отбора (отборът се избира по четири начина като бъркаш в кутията на отборите и избираш един от 4), след това от останалите девет спортисти в 1-та кутия избираме трима ( по [tex]C_9^3[/tex] начина) за следващия отбор, който се избира измежду трите останали непопълнени отбори по 3 начина; остават шест състезатели - от тях се избират 3-ма по[tex]C_6^3[/tex] начина и се поставят в един отбор, избран по 2 начина измежду останалите отбори. За последните трима остава последния отбор, за тях няма избор, т.е. по един начин.

Ето и с формули: [tex]C_{12}^3C_4^1C_9^3C_3^1C_6^3C_2^1[/tex]

В заключение: представяй си всяко действие, така лесно ще решаваш задачите от комбинаторика.

[Xixibg]

Първата е по-лесна: Избират се 11 човека от 22-ма по [tex]C_{22}^{11}[/tex] начина. Останалите 11 остават за втория отбор, т.е. има един единствен начин от останалите 11 да се изберат 11 за втория отбор.

Втората: Нека отборите са с номера: 1,2,3,4. Представи си, че ти ги разпределяш, като имаш две кутии: в едната номерата на състезателите, в другата номерата на отборите. След като избереш номерата на състезателите, представи си, че ги поствяш в 4 отделни кутии (отбори).
И така: От 12 човека избираме 3-ма за един от четирите отбора (отборът се избира по четири начина като бъркаш в кутията на отборите и избираш един от 4), след това от останалите девет спортисти в 1-та кутия избираме трима ( по [tex]C_9^3[/tex] начина) за следващия отбор, който се избира измежду трите останали непопълнени отбори по 3 начина; остават шест състезатели - от тях се избират 3-ма по[tex]C_6^3[/tex] начина и се поставят в един отбор, избран по 2 начина измежду останалите отбори. За последните трима остава последния отбор, за тях няма избор, т.е. по един начин.

Ето и с формули: [tex]C_{12}^3C_4^1C_9^3C_3^1C_6^3C_2^1[/tex]

В заключение: представяй си всяко действие, така лесно ще решаваш задачите от комбинаторика.

Това сигурно ли е????

А ако трябва да разделим 4 човека на 2 отбора по двама може ли да ползваме същият начин и да напишем отговор:[tex]C_4^2[/tex] ,защото малко не е верен

[inveidar]

Първата е по-лесна: Избират се 11 човека от 22-ма по [tex]C_{22}^{11}[/tex] начина. Останалите 11 остават за втория отбор, т.е. има един единствен начин от останалите 11 да се изберат 11 за втория отбор.

Естествено, че не е вярно!
А като гледам, то и втората задачка не е решена вярно.

[inveidar]

Тъй като явно госпожата не иска да си поправи решението, ще го поправя аз.
За първата задача - трябва да се разделят комбинациите на две, защото ако останат така, то те включват всяка двойка избрани отбора по два пъти(ако образно отборите са А и В, то може първо да изберем А, а после В или обратното - първо В и после А).
По същия начин във втората задача отговорът е [tex]\frac{C_{12}^{3}.C_{9}^{3}.C_{6}^{3}}{4! }[/tex], защото в числителя всеки различен избор на четири отбора се среща 4! пъти.

[s.karakoleva]

Това сигурно ли е????
А ако трябва да разделим 4 човека на 2 отбора по двама може ли да ползваме същият начин и да напишем отговор:[tex]C_4^2[/tex] ,защото малко не е верен

Задачата не е съвсем ясно поставена. Не е ясно дали отборите ще играят един срещу друг или се сформират за участие в различни състезания, примерно в град А и град Б. Моите разсъждения са на база втория случай. Номерата на състезателите ако е 1,2,3,4, а отборите са A и B (заминават на различни състезания), ето различните 6 възможности:
[tex]\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
A & B \\ \hline
12 & 34 \\
13 & 24 \\
14 & 23 \\
23 & 14 \\
24 & 13 \\
34 & 12 \\
\hline
\end{tabular}[/tex]
Вие си мислите за случая, в който отборите ще играят един срещу друг. В този случай наистина трябва да се разделят комбинациите на две, т.е. възможностите в този случай са 3. Но така поставена, задачата е некоректна. Възможно е да е зададена умишлено така, за да се разгледат и двата случая.
Имайки предвид горното, ще кажа, че разсъжденията

За първата задача - трябва да се разделят комбинациите на две, защото ако останат така, то те включват всяка двойка избрани отбора по два пъти(ако образно отборите са А и В, то може първо да изберем А, а после В или обратното - първо В и после А).
По същия начин във втората задача отговорът е [tex]\frac{C_{12}^{3}.C_{9}^{3}.C_{6}^{3}}{4! }[/tex], защото в числителя всеки различен избор на четири отбора се среща 4! пъти.

са верни в случай, че отборите се състезават един срещу друг, което не е изрично посочено в условието. Така зададено, условието предполага, че трябва да се разглежда общия случай.

[xexe]

Въпросът е ясен и точен. Какви състезания в различни градове, един срещу друг и т.н??? Никъде не става въпрос за игра. Просто два отбора, това е. Не търсете под вола теле! Ако ставаше въпрос за състезание, то би било отбелязано в условието. Нали не смятате, че като се зададе една задача, трябва да си мислим какво е искал да каже авторът, но не го е казал. Това да не ви е литература?!

[s.karakoleva]

Хехе, хайде по-спокойно, моля!
Предложете решение, с формули - въведете означения за елементарните събития на опита, приложете теоремите за събиране и умножение на вероятности, дайте смислено решение на задачата, а не просто да си чатите тук. Такъв език не е подходящ за този форум:

Не търсете под вола теле! ... Това да не ви е литература?!

Щом има ДВА отбора, значи са РАЗЛИЧНИ! Каквито и да са отборите, те имат поне отличителни знаци или екипи с различни цветове - не са еднакви, нали? Единият примерно е червен, а другият - зелен. Ако състезатели 1 и 2 са в червения отбор, а 3 и 4 - в зеления, това не е същото като 1 и 2 да са зелени, а другите - червени.
Щом не е упоменато в задачата изрично, трябва да се разгледат различните случаи. А какво е имал предвид авторът, дали условието е преписано вярно и дали източникът, от който е взета задачата е достатъчно надежден, това нас не ни интересува. Интересува ни само логиката на математиката, нали?

[inveidar]

Госпожо Караколева, не се излагайте! Какви червени и зелени отбори ви гонят?! Състезателите са отборите. Няма червен, бенбен и прочие.Няма такова нещо в задачата. Разберете, че вие си допълвате условието за да оправдаете грешките си. Спорът с вас е безсмислен.

[s.karakoleva]

По колко начина могат да се разпределят:
а)22 човека в 2 отбора по 11 души
б)12 човека в 4 отбора по 3 души?

Нека да започнем отначало и да се позовем на големите умове, които са създали Теорията на вероятностите и са написали дебели книги много преди да са били родени много от присъстващите тук. Ще цитирам Колмогоров, човекът, изградил през 1929 аксиоматиката на Теорията на вероятностите.

Книгата е със заглавие "Введение в теорию вероятностей" с автори А.Н. Колмогоров, И.Г.Журбенко, А.В.Прохоров, 1982. Можете да я намерите в библиотеката на math.ru: http://math.ru/lib/book/djvu/bib-kvant/teorver.djvu, както и много други полезни книги.

Ето какво пишат авторите на стр. 48 (превеждам със съкращения това, което е нужно за нашите задачи):

Има [tex]N[/tex] кутийки и [tex]n[/tex] частици. Частиците случайно се разпределят по кутийките. Тази задача представлява значителен интерес за ред основни въпроси на физиката, химията, биологията, инженерното дело и др. Ние даваме три различни подхода, изработени във физиката и наречени съответно Статистики на Mаксуел-Болцман, Бозе-Айнщайн и Ферми-Дирак.

Статистика на Максуел - Болцман
Ще намерим вероятността на това, че в първата кутийка ще се окажат [tex]n_1[/tex] частици, във втората - [tex]n_2[/tex], в [tex]N[/tex]-тата - [tex]n_N[/tex].

На формулата за броя комбинации на [tex]n[/tex] елемента по [tex]m[/tex] можем да гледаме като на разпределяне на [tex]n[/tex] елемента в две кутийки ([tex]N=2[/tex]), при което [tex]n_1=m[/tex] и[tex]n_2=n-m[/tex].

Повтаряйки почти дословно разсъжденията, които извършихме при извеждането на формулата за комбинациите, получаваме, че броят на всички различни начини за разпределяне на [tex]n[/tex] елементи в [tex]N[/tex] кутийки, при което в първата от тях попадат [tex]n_1[/tex] елемента, във втората - [tex]n_2[/tex] елемента, .... , в [tex]N[/tex]-тата - [tex]n_N[/tex] елемента ([tex]n_N=n-n_1-n_2-\ldots -n_{N-1}[/tex]) е равен на:

[tex]\frac{n!}{n_1!n_2!\ldots n_N!}\cdot[/tex]

Сега да се върнем на задачите
а). Елементите са [tex]n=22[/tex] (човека), а кутийките са [tex]N=2[/tex] (отбора), като във всеки отбор (кутийка) има по [tex]n_1=n_2=11[/tex] елемента (човека). По горната формула (Колмогоров)
различните възможности за разпределяне на хората в два различни отбора (кутийки) са:

[tex]\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!} = \frac{22!}{11!\cdot 11!}= 705 432[/tex]

Тук да сравним с резултата, който ви дадох като решение в първия мой пост в тази тема.

Първата е по-лесна: Избират се 11 човека от 22-ма по [tex]C_{22}^{11}[/tex] начина. Останалите 11 остават за втория отбор, т.е. има един единствен начин от останалите 11 да се изберат 11 за втория отбор.

Подходът, който аз използвам е друг, но резултатът е същият:
[tex]C_{22}^{11}\cdot 1=\frac{22!}{11! 11!}=705 432[/tex]

б). [tex]n=12[/tex] човека, [tex]N=4[/tex] отбора, по [tex]n_1=n_2=n_3=n_4=3[/tex]- трима във всеки отбор.
По Формулата на Колмогоров и сие: [tex]\frac{12!}{3!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 3!}= 369 600[/tex]

в). Ето решението и на допълнителната задачка:

А ако трябва да разделим 4 човека на 2 отбора по двама може ли да ползваме същият начин и да напишем отговор:[tex]C_4^2[/tex] ,защото малко не е верен

Тук [tex]n=4[/tex], [tex]N=2[/tex], [tex]n_1=n_2=2[/tex] и по формулата на Колмогоров е [tex]\frac{4!}{2!\cdot 2!}[/tex], а то е същото като [tex]C_4^2[/tex].

На Колмогоров може да се вярва, нали той е създал теорията!

[inveidar]

Госпожо, на Колмогоров несъмнено може да се вярва. Но това, което цитирате не е задачата, която разглеждаме. Не е казано кои са отборите(кутийките!), т.е няма кутийки! Просто трябва 22 човека да се разделят на две групи по 11 човека. Така по ясно ли вие? Просто, вместо групи е казано отбори, това е. Ако беше казано две групи, то сигурно пак щяхте да филосовствате какви са тези групи, политически партии ли са, групи по интереси ли са и кой знае още какво ще ви дойде в главата. Сигурно сте доцент или знам ли какво в Русенския университет, но незнам защо се правите на интересна, а просто не признаете, че решението ви е грешно и готово. Никой не е безгрешен.

[inveidar]

Всъщност, защо спорим. Нека този, който е дал задачите да напише отговорите и тогава ще стане ясно какво е имал предвид авторът. Според вас два отбора, означава две кутии, а според мен - две групи. Нека и някой друг да каже какво мисли по въпроса.

[Xixibg]

Имаме два отбора-отбор А и отбор В.Дали отбор А е в лявата половина на игрището или в дясната, дали е със зелени или пък с червени фланелки той се си е отбор А.Същото се отнася и за отбор В.

[ganka simeonova]

Всъщност, защо спорим. Нека този, който е дал задачите да напише отговорите и тогава ще стане ясно какво е имал предвид авторът. Според вас два отбора, означава две кутии, а според мен - две групи. Нека и някой друг да каже какво мисли по въпроса.

Прав си.

[inveidar]

Пак да кажа. Според мен избираме 11 човека и им казваме - вие сте единия отбор. Останалите 11 са другия отбор. Ето ви два отбора. Ако първо отделим вторите 11, то те са един отбор - останалите са другия отбор. Това не са ли два еднакви отбора питам аз?

[Xixibg]

Еднакви са според всички освен г-жа Караколева

[s.karakoleva]

Всъщност, защо спорим. Нека този, който е дал задачите да напише отговорите и тогава ще стане ясно какво е имал предвид авторът. Според вас два отбора, означава две кутии, а според мен - две групи. Нека и някой друг да каже какво мисли по въпроса.

Да, наистина, спорът е безмислен, защото се отнася за два различни случая на задачата. Всеки за себе си е прав.

От самото начало казах, че задачата има два случая и ако не е изрично упоменнато в условието, трябва да се разгледат и двата.

Намерих в един сборник подобна задача, която е и решена и в която, както ще забележите, се разглеждат и двата случая, а освен това условието е коректно зададено.
Сборникът е: "Задачи по вероятности", И. Миразчийски, И. Стоянов, 1979. Цитирам дословно:

Задача (стр.28): По колко различни начина девет лица могат да се разпределят в три групи по трима, ако разпределенията се различават само по състава на гупите , т.е. не зависят от номерата на групите и от реда на лицата в тях?

Решение: (стр. 86)
Нека множеството на деветте лица е M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Ще пресметнем броя на различните им разпределения в три групи по трима, когато групите са подредени последователно като първа, втора и трета подред, т.е. когато например наредените тройки {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}} и {{4,5,6}, {1,2,3}, {7,8,9}} считаме за различни разпределения. Три лица за първа група може да се изберат по [tex]C_9^3[/tex] начина. На всеки от тези начини отговарят [tex]C_6^3[/tex] начини за избор на 3 от останалите 6 лица за втора група, с което автоматично последните три лица образуват третата група. Следователно, броят на различните подредени тройки е равен на [tex]C_9^3C_6^3[/tex].
Ние обаче търсим броя на различните неподредени тройки, който е [tex]3![/tex] пъти по-малък, т.е той е равен на [tex]C_9^3C_6^3\cdot\frac{1}{3!}=280.[/tex].

Мисля, че с това подробно решение, дадено преди 30+ години, вече всеки се оказва прав и можете да се успокоите.

А това, че отборите са различни, трябва да се упомене в условието. Ако не е изрично подчертано, малко става несигурно кой точно случай е имал предвид авторът. В такъв случй трябва да се разгледат и двата. И затова се получават недоразумения.

П.П.

Имаме два отбора-отбор А и отбор В. Дали отбор А е в лявата половина на игрището или в дясната, дали е със зелени или пък с червени фланелки той се си е отбор А. Същото се отнася и за отбор В.

Ами защо ги наричате тогава A и B, щом са еднакви? Наричайте ги А и А!