3 задачи от скаларно произведение на вектори

[noobnoob234]

[nikko]

8. Ако H е петата на перпендикулява от B към AC и т. D е точката получена от допълването на ABC до ромб ABCD, то [tex]\vec{BO}=\frac{2}{3}BH=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\vec{BD}=\frac{1}{3}\vec{BD}[/tex]
Тогава [tex]\vec{AB}+3\vec{BO}=\vec{AB}+\vec{BD}=\vec{AD}=\vec{BC}[/tex]

9. Означаваме [tex]\vec{AB}=\vec{a},\,\vec{AD}=\vec{b}.[/tex] Тогава [tex]\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}[/tex], [tex]AC=\vec{AC}^2=\vec{a}^2+\vec{b}^2+2\vec{a}.\vec{b}[/tex], [tex]\vec{BD}=\vec{b}-\vec{a}[/tex] и [tex]BD=\vec{BD}^2=(\vec{b}-\vec{a})^2=\vec{b}^2+\vec{a}^2-2\vec{a}\vec{b}[/tex], следователно [tex]AC^2-BD^2=4\vec{a}.\vec{b}=4\vec{AB}.\vec{AC}[/tex]