Тригонометрични тъждества

[someone]

Здравейте, от няколко дни се мъча върху следните задачи по тригонометрия:

Задача 1. Докажете тъждеството:
a) [tex]cos{\frac{ 2\pi }{ 7 } } + cos {\frac{4\pi} {7}} + cos{\frac{6\pi}{7}} = -\frac{1}{2}[/tex]
б) [tex]tg{5^\circ }tg{55^\circ }tg{65^\circ }=2-sqrt{3}[/tex]
в) [tex]sin^{2}{2\alpha } +sin^{2}{2\beta } + sin^{2}{2\gamma } + 2cos{2\alpha}cos{2\beta}cos{2\gamma} = 2[/tex] при [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex] - ъгли на триъгълник

Задача 2. Намерете:
a) [tex]sin{18^\circ}[/tex]
б) [tex]sin{9^\circ}[/tex]
в) [tex]sin{42^\circ}[/tex]

Ще съм ви благодарен за помощта.

[Tankz]

За 2-ра
търсим sin18
sin36=cos54
Нека t=18
=> sin2t=cos3t
2sintcost=4cos³t-3cost /:cost [tex]\ne[/tex] 0
2sint=4cost²-3
Но,sin²t+cos²t=1 => 2sint=4-4sin²t-3 или 2sin18=1-4sin²18 Полагаш sin18 на к
Решаваш го и получаваш 2 отговора -1+[tex]\sqrt{5}[/tex]/:4 ,-1-[tex]\sqrt{5}[/tex]/:4 ,но sin18>0 => sin18=-1+[tex]\sqrt{5}[/tex]/:4

sin9=?
Правиш система 1.2sin9cos9=sin18 (вече го получихме от а))
2.sin²9+cos²9=1
sin42=sin(72-30) =sin72cos30-sin30cos72
,но sin72=cos18,cos72=sin18,cos²18+sin²18=1

[ganka simeonova]

1)[tex]cos{\frac{ 2\pi }{ 7 } } + cos {\frac{4\pi} {7}} + cos{\frac{6\pi}{7}}=cos{\frac{ 2\pi }{ 7 } } - cos {\frac{3\pi} {7}} - cos{\frac{\pi}{7}}[/tex]
Ще умножим и разделим с [tex]cos{\frac{\pi }{14 }[/tex]=>

[tex]\frac{cos{\frac{\pi }{14 }(cos{\frac{ 2\pi }{ 7 } } - cos {\frac{3\pi} {7}} - cos{\frac{\pi}{7}})}}{{ cos{\frac{\pi }{14 } }}[/tex].
Разкрий скобите в числител и приложи за трите двойки произведения формулата
[tex]2cosx.cosy=cos(x+y)+cos(x-y)[/tex]

[ganka simeonova]

б) Ползвай едно много добро тъждество, което ще е по силите си, да го докажеш:)
[tex]tg3x=tg(60^\circ -x).tgx.tg(60^\circ +x)[/tex] и го ползвай за [tex]x=5^\circ[/tex]

[someone]

Благодаря на г-жа Симеонова и на Тankz! А ето доказателството и на третото тъждество, което успях да измисля с помощта на г-жа Симеонова:
[tex]2\alpha+2\beta+2\gamma=360^\circ \Rightarrow sin{2\gamma }=sin{(2\alpha+2\beta)}, cos{2\gamma}=cos{(2\alpha+2\beta)}[/tex]
Тогава лявата страна придобива вида [tex]sin^{2}{2\alpha} + sin^{2}{2\beta} + sin^{2}{(2\alpha+2\beta)}+2cos{2\alpha}cos{2\beta}cos{(2\alpha+2\beta)}=[/tex]
[tex]=sin^{2}{2\alpha} + sin^{2}{2\beta} + (sin{2\alpha}cos{2\beta}+sin{2\beta}cos{2\alpha})^{2}+2cos{2\alpha}cos{2\beta}(cos{2\alpha}cos{2\beta}-sin{2\alpha}sin{2\beta})[/tex]
И сега полагаме [tex]x=sin{2\alpha}, y=cos{2\alpha}, z=sin{2\beta}, t=cos{2\beta}[/tex]и използваме[tex]y^2=1-x^2, t^2=1-z^2[/tex]:
[tex]x^{2}+z^{2}+(xt+zy)^{2}+2yt(yt-xz)=[/tex]
[tex]=x^2+z^2+x^2t^2+z^2y^2+\cancel{2xyzt}+2y^2t^2-\cancel{2xyzt}=x^2+z^2+x^2(1-z^2)+z^2(1-x^2)+2(1-x^2)(1-z^2)=[/tex]
[tex]=x^2+z^2+x^2-x^2z^2+z^2-z^2x^2+2-2x^2-2z^2+2x^2z^2=[/tex]
[tex]=\cancel{2x^2}+\cancel{2z^2}-\cancel{2x^2z^2}+2-\cancel{2z^2}-\cancel{2x^2}+\cancel{2x^2z^2}=[/tex]
[tex]=2[/tex]