Още трудни задачи по тригонометрия

[someone]

1) Докажете, че:
а) числата [tex]cos{\frac{2\pi}{9}}[/tex], [tex]cos{\frac{4\pi}{9}}[/tex], [tex]cos{\frac{8\pi}{9}}[/tex] са корени на уравнението [tex]8x^{3}-6x+1=0[/tex].
б) числата [tex]cos{\frac{2\pi}{7}}[/tex], [tex]cos{\frac{4\pi}{7}}[/tex], [tex]cos{\frac{8\pi}{7}}[/tex] са корени на уравнението [tex]8x^{3}+4x^2-4x-1=0[/tex].
2) Намерете ъглите [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex], [tex]\gamma[/tex] на триъгълник, за който [tex]sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}+sin{\frac{\alpha-\gamma}{2}}+sin{\frac{3\alpha}{2}}=\frac{3}{2}[/tex].
3) Докажете тъждеството:
а) [tex]cos^{2}{20^\circ }+cos^{2}{40^\circ }+cos^{2}{100^\circ}=\frac{3}{2}[/tex]

б)[tex]\frac{tg{12^\circ}}{cos{24^\circ}}+\frac{tg{24^\circ}}{cos{48^\circ}}+\frac{tg{48^\circ}}{cos{96^\circ}}+\frac{tg{96^\circ}}{cos{192^\circ}}=0[/tex]

в) [tex]8sin{\frac{\pi}{21}}sin{\frac{\pi}{7}}sin{\frac{8\pi}{21}}=tg{\frac{\pi}{7}}[/tex]

г) [tex]sin^{2}{\alpha}+sin^{2}{2\alpha}+sin^{2}{3\alpha}+sin^{2}{4\alpha}=2-\frac{cos{5\alpha}sin{4\alpha}}{2sin{\alpha}}[/tex]

4) Докажете, че изразът [tex]cos{20^\circ}cos{40^\circ}cos{140^\circ}cos{160^\circ} \in (0; 1).[/tex]
(По тази задача по-скоро имам само въпрос. Преобразувах го израза до [tex]\frac{1}{64sin^{2}{10^\circ}}[/tex]. От 0, че е по-голямо, е очевидно. Сега остава да докажем, че е по-малко от 1, а това е еквивалентно на това да докажем, че [tex]sin{10^\circ}>\frac{1}{8}[/tex]. А това не мога да го докажа, затова използвах четиризначната таблица, откъдето е очевидно. Та въпросът ми е - мога ли в такъв случай да се позова на нея или ми трябва доказателство? И ако да - какво е то?)

Ще ви бъда благодарен и само за идеи по задачите, защото имам чувството, че всичко изпробвах и пак не се получава.

[Гост]

За четвъртата мисля,че е ясно защо изразът е положителен(2 от множителите са отрицателни,а другите 2 положителни),а всеки един множител има модул по-малък от 1 и от там следва исканото в задачата.

[ganka simeonova]

1зад) Ще установим, че у-то има корен в интервала (-1; 0)
[tex]f(x)=8x^3-6x+1; f(-1)=-1<0; f(0)=1>0=>[/tex]съществува [tex]x_0\in (-1; 0):f(x_0)=0[/tex]
Тогава да положим [tex]x=cost=>[/tex]
[tex]2(4cos^3t-3cost)+1=0=>2cos3t=-1=>cos3t=-\frac{1}{2 } =>t=\pm \frac{2\pi }{9 } +\frac{2k\pi }{3 }[/tex]
[tex]t=\frac{2\pi }{ 9} , k=0[/tex]
[tex]t=-\frac{2\pi }{9 } +\frac{2\pi }{3 }=\frac{4\pi }{9 } , k=1[/tex]
[tex]t=\frac{2\pi }{9 } +\frac{2\pi }{3 }=\frac{8\pi }{9 } , k=1[/tex]=>трите числа са корени.

За 2зад) разсъждавай подобно

[ganka simeonova]

3a) [tex]cos^2{100^\circ }=cos^2{80^\circ }[/tex]
За трите събираеми приложи формулите за понижение на степента и си готов:)

[someone]

Благодаря на г-жа Симеонова и на Гост.
Идеята за прилагането на формулите за понижаване на степента ми помогна да реша и задача 3г):
[tex]sin^{2}{\alpha}+sin^{2}{2\alpha}+sin^{2}{3\alpha}+sin^{2}{4\alpha}=\frac{1-cos{2\alpha}}{2}+\frac{1-cos{4\alpha}}{2}+\frac{1-cos{6\alpha}}{2}+\frac{1-cos{8\alpha}}{2}=2-\frac{cos{2\alpha}+cos{4\alpha}+cos{6\alpha}+cos{8\alpha}}{2}[/tex]
Сега, за да докажем нашето тъждество, трябва да докажем [tex]cos{2\alpha}+cos{4\alpha}+cos{6\alpha}+cos{8\alpha}=\frac{cos{5\alpha}sin{4\alpha}}{sin{\alpha}}[/tex]. И ето как ще стане:
[tex]cos{2\alpha}+cos{8\alpha}+cos{4\alpha}+cos{6\alpha}=2cos{5\alpha}cos{3\alpha}+2cos{5\alpha}cos{\alpha}=2cos{5\alpha}(cos{3\alpha}+cos{\alpha})=2cos{5\alpha}.2cos{2\alpha}cos{\alpha}=[/tex]
[tex]=2cos{\alpha}\frac{sin{\alpha}}{sin\alpha}.2cos{2\alpha}cos{5\alpha}=\frac{sin{2\alpha}.2.cos{2\alpha}cos{5\alpha}}{sin{\alpha}}=\frac{sin{4\alpha}cos{5\alpha}}{sin{\alpha}}[/tex]

[ganka simeonova]

2зад). Да положим: [tex]x=\frac{\alpha -\beta }{ 2} ; y=\frac{\alpha-\gamma }{2 } =>z=\frac{3\alpha }{2 }=90^\circ +(x+y)[/tex]
Лявата страна добива вида:
[tex]cos( 90^\circ -x)+cos(90^\circ -y)+cos(x+y)[/tex]Сборът на ъглите от последната сума е [tex]180^\circ[/tex] Ще докажем, че една такава сума на косинуси, сборът от ъглите на които е [tex]180^\circ \le \frac{3}{2 }[/tex]
Нека [tex]a+b+c=180^\circ[/tex]=>
[tex]cosa+cosb+cosc=1-2sin^2\frac{a}{2 }+2cos\frac{b+c}{ 2} cos\frac{b-c}{2 }\le1-2sin^2\frac{a}{2 }+2sin\frac{a}{2}=\frac{3}{ 2}-\frac{1}{2 }(1-2sin{\frac{a}{ 2} })^2\le \frac{3}{2 }[/tex]
Равенство за [tex]a=b=c=60^\circ =>x=y=30^\circ ; z=150^\circ =>\alpha =100^\circ ; \beta =\gamma =40^\circ[/tex]

[ganka simeonova]

3в) Ще я напиша "Отзад- напред" (Предварително се извинявам за символа на градусите, но ме мързи да го изписвам)
Да започнем с едно известно тъждество (знаеш го):
[tex]4sin(60-x)sinxsin(60+x)=sin3x[/tex] Ще го приложим за [tex]x=\frac{\pi }{ 21}[/tex], а именно:
[tex]4sin{\frac{6\pi }{21 }}sin{\frac{\pi }{ 21}}sin{\frac{8\pi }{ 21} }=sin{\frac{\pi }{7 }}[/tex]
=>[tex]8sin{\frac{3\pi }{21 }}cos{\frac{3\pi }{21} } sin{\frac{\pi }{ 21}}sin\frac{8\pi }{ 21} =sin{\frac{\pi }{7}}[/tex]=>
[tex]8sin{\frac{3\pi }{21 }}cos{\frac{\pi }{7} } sin{\frac{\pi }{ 21}}sin\frac{8\pi }{ 21} =sin{\frac{\pi }{7}}[/tex]=>[tex]8sin{\frac{\pi }{7 }} sin{\frac{\pi }{ 21}}sin\frac{8\pi }{21} =tg{\frac{\pi }{7}}[/tex]

[Гост]

2. пол [tex]x=cost[/tex] ===> уравнението става : [tex]8cos^3t+4cos^2t-4cost=1[/tex]
[tex]4cost(2cos^2t-1) + 4cos^2t=1[/tex]
[tex]4cost.cos2t+4cos^2t=1[/tex]
[tex]4cost(cos2t+cost)=1[/tex]
[tex]8cost.cos{\frac{3t}{2 }} .cos {\frac{t}{2 }}=1[/tex]
заместваш директно и трябва да получиш,че числата са ти решения.



3.б)[tex]\frac{tgx}{cos2x } =\frac{sinx}{cosx.cox2x } =\frac{sin(2x-x)}{coxs.cos2x }=\frac{sin2x.cosx-sinx.cos2x}{cosx/cos2x } =tg2x-tgx[/tex] използваш това и ще получиш желаното

[someone]

Гост, страхотно решение на 3б)! Когато видях поста ти, я бях вече направил, но по един много дълъг и трудоемък начин - подвеждане под общ знаменател и представяне на числителя като сбор на синуси, които се унищожиха, та заради това не го публикувах, тъй като мисля, че няма смисъл да пълним форума с дълги и, което е по-важното, не особено елегантни решения. Но бях сигурен, че от този общ вид [tex]\frac{tg\alpha}{cos{2\alpha}}[/tex] може да се измисли нещо хитро. Благодаря ти! А в задача 1б) действително няма нужда да се решава уравнението, а може само да се замести и да се провери. Оказа се, че трите израза, които трябва да докажем, че са единици, са всъщност един и същ израз: [tex]-8cos{\frac{\pi}{7}}cos{\frac{2\pi}{7}}cos{\frac{4\pi}{7}}[/tex].

А специално за вас, г-жо Симеонова, публикувам още две тъждества, които успях да реша, прилагайки вашето любимо тригонометрично тъждество, надявам се да ви харесат:
1) [tex]\frac{1}{4sin{40^\circ}cos{10^\circ}} - cos{100^\circ} = \frac{\sqrt3}{3} sin{100^\circ}[/tex]
2) [tex]cos{\frac{\pi}{30}}cos{\frac{7\pi}{30}}cos{\frac{13\pi}{30}}cos{\frac{19\pi}{30}}cos{\frac{25\pi}{30}}=\frac{sqrt3}{32}[/tex]

[ganka simeonova]

Браво и от мен за 3б