Логаритми - сравнете и подредете във възходящ ред

[Гост]

Здравейте!Имам проблеми с тази задача:
първото число е 1/4 ,после е 4/5 и при последния логаритъм - 6

[ammornil]

формула: [tex]\hspace{12} log_{a}b=log_{a^{m}}b^{m}[/tex]

[tex]log_{\frac{1}{4}}\frac{5}{6}= log_{_{4}}\frac{6}{5}=\frac{1}{2}.log_{_{2}}\frac{6}{5}= \frac{1}{2}(log_{_{2}}(2.3) - log_{_{2}}5)= \frac{1+log_{_{2}}3 - log_{_{2}}5}{2}<0[/tex]

[tex]log_{_{\frac{4}{5}}}\frac{5}{3}=\frac{log_{_{2}}\frac{5}{3}}{log_{_{2}}\frac{4}{5}}=\frac{log_{_{2}}5 -log_{_{2}}3}{log_{_{2}}4 -log_{_{2}}5}=\frac{log_{_{2}}5 -log_{_{2}}3}{2 -log_{_{2}}5}; \hspace{12} \left|log_{_{2}}5 -log_{_{2}}3 >0 \\ log_{_{2}}4 -log_{_{2}}5<0 \right, \Rightarrow log_{_{\frac{4}{5}}}\frac{5}{3}=\frac{log_{_{2}}3 -log_{_{2}}5}{log_{_{2}}5-2}<0[/tex]

[tex]log_{_{6}}8=\frac{log_{_{2}}8}{log_{_{2}}(2.3)}=\frac{3}{1+log_{_{2}}3} >0; \hspace{12} log_{_{2}}3<2 \hspace{12} \Rightarrow 1+log_{_{2}}3<3 \hspace{12} \Rightarrow log_{_{6}}8>1[/tex]

Сега трябва да се намери разликата на двата логаритъма с дробните основи и ако тя е отрицателна, умаляемото е по-наляво от умалителя; ако разликата е положителна умаляемото е по-надясно от умалителя. В случая това не даде желания резултат, защото стигнах до момент в който не можах да определя аналитично знака на разликата и в крайна сметка просто пресметнах логаритмите. Принципно обаче трябва да се опита да се намери знака на разликата на сравняваните числа и така да се докаже тяхното взаимно разположение на числовата ос.
Ето все пак как разсъждавах...

[tex]log_{\frac{1}{4}}\frac{5}{6}-log_{_{\frac{4}{5}}}\frac{5}{3}=\frac{1+log_{_{2}}3 - log_{_{2}}5}{2}-\frac{log_{_{2}}5 -log_{_{2}}3}{2
-log_{_{2}}5}=\frac{(2 -log_{_{2}}5).(1+log_{_{2}}3 -log_{_{2}}5)-2.(log_{_{2}}5 -log_{_{2}}3)}{2.(2 -log_{_{2}}5)}=[/tex]

[tex]=\frac{2+2.log_{_{2}}3-2.log_{_{2}}5-log_{_{2}}5-log_{_{2}}3.log_{_{2}}5+log_{_{2}}^{2}5-2.log_{_{2}}5+2.log_{_{2}}3}{2.(2 -log_{_{2}}5)}=[/tex]

[tex]=\frac{log_{_{2}}4+log_{_{2}}^{2}5+4.log_{_{2}}3-5.log_{_{2}}5-log_{_{2}}3.log_{_{2}}5}{2.(2 -log_{_{2}}5)}=\frac{log_{_{2}}4+log_{_{2}}3^{4}-log_{_{2}}5^{5}+log_{_{2}}^{2}5-log_{_{2}}3.log_{_{2}}5}{2.(2 -log_{_{2}}5)}=[/tex]

[tex]=\frac{log_{_{2}}\left( \frac{4.3^{4}}{5^{5}}\right)+log_{_{2}}5(log_{_{2}}5-log_{_{2}}3)}{2.(2 -log_{_{2}}5)}[/tex]
Тъй като не се сещам как да преобразувам това, правя субституция към натурален логаритъм и определям приблизителната стойност на числителя и знаменателя. Оказва се, че този израз е като цяло положителен (и числителят, и знаменателят са отрицателни). Това означава че: [tex]log_{\frac{1}{4}}\frac{5}{6}>log_{_{\frac{4}{5}}}\frac{5}{3}[/tex]


Редът ще е [tex]log_{_{\frac{4}{5}}}\frac{5}{3};\hspace{12} log_{\frac{1}{4}}\frac{5}{6};\hspace{12} 0;\hspace{12} 1;\hspace{12} log_{_{6}}8[/tex]
Дано поясненията са от помощ!